Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (2; -3), В (-4; -1) С (1; -1) и D (7; -3) является параллелограммом

решение задания по геометрии
 

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, мы можем использовать определение параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Шаг 1: Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA.

Длина стороны AB:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
AB = √((-4 - 2)^2 + (-1 - (-3))^2)
AB = √((-6)^2 + (2)^2)
AB = √(36 + 4)
AB = √40
AB = 2√10

Длина стороны BC:
BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
BC = √((1 - (-4))^2 + (-1 - (-1))^2)
BC = √((5)^2 + (0)^2)
BC = √(25 + 0)
BC = √25
BC = 5

Длина стороны CD:
CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
CD = √((7 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2)
CD = √((6)^2 + (-2)^2)
CD = √(36 + 4)
CD = √40
CD = 2√10

Длина стороны DA:
DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
DA = √((7 - 2)^2 + (-3 - (-3))^2)
DA = √((5)^2 + (0)^2)
DA = √(25 + 0)
DA = √25
DA = 5

Шаг 2: Проверим, равны ли длины противоположных сторон AB и CD, а также BC и DA.

AB = 2√10
CD = 2√10

BC = 5
DA = 5

Мы видим, что длины противоположных сторон AB и CD равны (2√10 = 2√10) и длины противоположных сторон BC и DA также равны (5 = 5).

Шаг 3: Проверим, параллельны ли противоположные стороны AB и CD, а также BC и DA.

Чтобы проверить параллельность, мы должны убедиться, что наклоны прямых, содержащих AB и CD, а также BC и DA, равны.

Наклон прямой AB:
m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m1 = (-1 - (-3)) / (-4 - 2)
m1 = (2) / (-6)
m1 = -1/3

Наклон прямой CD:
m2 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m2 = (-3 - (-1)) / (7 - 1)
m2 = (-2) / (6)
m2 = -1/3

Наклон прямой BC:
m3 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m3 = (-1 - (-1)) / (1 - (-4))
m3 = (0) / (5)
m3 = 0

Наклон прямой DA:
m4 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m4 = (-3 - (-3)) / (7 - 2)
m4 = (0) / (5)
m4 = 0

Мы видим, что наклоны прямых AB и CD равны (-1/3 = -1/3) и наклоны прямых BC и DA также равны (0 = 0).

Шаг 4: Мы доказали, что противоположные стороны равны и параллельны, а также что наклоны противоположных сторон равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (2; -3), В (-4; -1), С (1; -1) и D (7; -3) является параллелограммом.