Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А (-2; 3), В (2: 7), С (6; 3) и D (2; -1) является квадратом.

решение задания по геометрии
 

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нужно проверить выполнение нескольких условий:

1. Докажем, что все стороны четырехугольника равны между собой:
- Найдем длину сторон AB, BC, CD и DA с помощью формулы расстояния между двумя точками на координатной плоскости:
- Длина стороны AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²], где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.
- Длина стороны AB = √[(2 - (-2))² + (7 - 3)²] = √[4² + 4²] = √[16 + 16] = √32 ≈ 5.66
- По аналогии находим длины сторон BC, CD и DA:
- Длина стороны BC ≈ 5.66
- Длина стороны CD ≈ 5.66
- Длина стороны DA ≈ 5.66
Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой (приближенно 5.66), что является первым условием квадрата.

2. Докажем, что все углы четырехугольника ABCD прямые:
- Найдем углы между сторонами AB и BC (угол B), BC и CD (угол C), CD и DA (угол D) и DA и AB (угол A) с помощью формулы тангенса:
- Угол B = arctan[(y2 - y1) / (x2 - x1)], где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B и C соответственно.
- Угол B = arctan[(7 - 3) / (2 - (-2))] = arctan[4 / 4] = arctan[1] ≈ 45°
- По аналогии находим углы C, D и A:
- Угол C ≈ 45°
- Угол D ≈ 45°
- Угол A ≈ 45°
Таким образом, все углы четырехугольника ABCD равны прямым углам (приближенно 45°), что является вторым условием квадрата.

Таким образом, выполняются оба условия квадрата: все стороны равны между собой и все углы прямые. Следовательно, четырехугольник ABCD является квадратом.