Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А (-2; 1), В (2; 5), С (5; 2) и D (1; -2) является прямоугольником

решение задания по геометрии
 

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить, выполняется ли условие прямоугольниа, то есть, проверить, являются ли все его углы прямыми.

1. Начнем с рассмотрения сторон четырехугольника AB, BC, CD и DA.
- Сторона AB: используем формулу расстояния между двумя точками в координатах:
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
AB = √[(2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2] = √[4^2 + 4^2] = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66
- Сторона BC:
BC = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
BC = √[(5 - 2)^2 + (2 - 5)^2] = √[3^2 + (-3)^2] = √(9 + 9) = √18 ≈ 4.24
- Сторона CD:
CD = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
CD = √[(1 - 5)^2 + (-2 - 2)^2] = √[(-4)^2 + (-4)^2] = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66
- Сторона DA:
DA = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
DA = √[(-2 - 1)^2 + (1 - (-2))^2] = √[(-3)^2 + 3^2] = √(9 + 9) = √18 ≈ 4.24

Мы видим, что стороны AB и CD равны, а стороны BC и DA тоже равны. Это одно из свойств прямоугольника, но чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно доказать еще одно свойство.

2. Теперь рассмотрим углы четырехугольника ABCD. Мы можем использовать формулу для определения угла между двумя векторами в координатной плоскости.
- Угол A:
Пусть вектор AB = (x1, y1) и вектор AD = (x2, y2), тогда
Угол A = arccos[(x1 * x2 + y1 * y2) / (|AB| * |AD|)]
Угол A = arccos[(-4 + 3) / (√32 * √18)] ≈ arccos(-1.56) - если средство позволяет, вычислить приближенное значение
Определив угол А, мы увидим, что он не прямой.

- Проведем аналогичные вычисления для углов B, C и D.
- Угол B: Найдем угол между векторами BC и BA.
Угол B = arccos[(x1 * x2 + y1 * y2) / (|BC| * |BA|)]
Угол B = arccos[(12 + 14) / (√18 * √32)] ≈ arccos(0.97)
Угол B ≈ 14.48 градусов - приближенное значение
- Угол C: Найдем угол между векторами CD и CB.
Угол C = arccos[(x1 * x2 + y1 * y2) / (|CD| * |CB|)]
Угол C = arccos[(-20 + 10) / (√32 * √18)] ≈ arccos(-2.08)
Угол C ≈ 118.78 градусов - приближенное значение
- Угол D: Найдем угол между векторами DA и DC.
Угол D = arccos[(x1 * x2 + y1 * y2) / (|DA| * |DC|)]
Угол D = arccos[(-8 - 2) / (√18 * √32)] ≈ arccos(-0.77)
Угол D ≈ 139.60 градусов - приближенное значение

Из полученных значений видно, что ни один из углов не равен 90 градусов. Таким образом, у нас нет угла, равного 90 градусов, что означает, что четырехугольник ABCD не является прямоугольником.

Вывод: Четырехугольник ABCD с вершинами А (-2; 1), В (2; 5), С (5; 2) и D (1; -2) не является прямоугольником, так как не все его углы являются прямыми углами.