Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А (1;6), В(5; 10), С (9; 6) и D (5; 2) является квадратом.

решение задания по геометрии
 

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нам нужно проверить, выполнены ли следующие условия:
1) Все стороны четырехугольника равны между собой.
2) Все углы четырехугольника равны 90 градусов.

Давайте проверим эти условия:

1) Проверка равенства сторон:

Сторона AB:
AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((5-1)^2 + (10-6)^2) = √(16+16) = √32 = 4√2

Сторона BC:
BC = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((9-5)^2 + (6-10)^2) = √(16+16) = √32 = 4√2

Сторона CD:
CD = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((5-9)^2 + (2-6)^2) = √(16+16) = √32 = 4√2

Сторона DA:
DA = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((1-5)^2 + (6-2)^2) = √(16+16) = √32 = 4√2

Мы видим, что все четыре стороны AB, BC, CD и DA равны между собой, поэтому условие 1 выполняется.

2) Проверка равенства углов:

Угол ABC:
tan(ABC) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (10-6) / (5-1) = 4/4 = 1
ABC = arctan(1) ≈ 45 градусов

Угол BCD:
tan(BCD) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6-2) / (9-5) = 4/4 = 1
BCD = arctan(1) ≈ 45 градусов

Угол CDA:
tan(CDA) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2-6) / (1-5) = -4/4 = -1
CDA = arctan(-1) ≈ -45 градусов (или 315 градусов)

Угол DAB:
tan(DAB) = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6-10) / (5-9) = -4/4 = -1
DAB = arctan(-1) ≈ -45 градусов (или 315 градусов)

Мы видим, что все четыре угла ABC, BCD, CDA и DAB равны 45 градусам (или 315 градусам), что является условием 2.

Итак, мы проверили, что все стороны четырехугольника равны между собой и все углы равны 90 градусам (или 45 градусам), поэтому мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является квадратом.