Для заданных действительных чисел p и q найдите все значения, которые многочлен x^2+ px+q принимает на отрезке [-1; 1].

Функция y=x²+ px+q имеет на действительной оси одну точку минимума, соответствующую вершине параболы x₀=-p/2. При x<x₀ эта функция убывает, а при x>x₀ – возрастает. Поэтому для множества А значений функции y=x²+ px+q на отрезке [-1; 1] имеем следующее:

Если p<-2, то x₀>1 и А=[y(1); y(-1)]=[1+p+q; 1-p+q].

Если -2≤p≤2, то -1≤x₀≤1, и А=[y(x₀); max{y(-1); y(1)}]. Более точно, при -2≤p≤0 А=[q-p²/4; 1-p+q], а при 0<p≤2 А=[q-p²/4; 1+p+q].

Если p>2, то x₀<-1 и А=[y(-1); y(1)]=[1-p+q; 1+p+q].

p<-2: А=[1+p+q; 1-p+q];

при -2≤p≤0: А=[q-p²/4; 1-p+q];

при 0<p≤2: А=[q-p²/4; 1+p+q];

при p>2: А=[1-p+q; 1+p+q].