Для каждого n определите, сколько есть троек натуральных чисел, сумма которых равна 6n.

Найдем количество троек натуральных чисел (x, y, z), для которых x≤y≤z и x+y+z=6n. При каждом значении k=1, 2,…, n выпишем все тройки, для которых x=2k-1 и соответственно x=2k:
(2k-1; 2k-1; 6n-4k+2), (2k-1; 2k; 6n-4k+1),…, (2k-1; 3n-k-1; 3n-k+2),
(2k-1; 3n-k; 3n-k+1),
и соответственно
(2k; 2k; 6n-4k), (2k; 2k+1; 6n-4k-1),…, (2k; 3n-k-1; 3n-k+1),
(2k; 3n-k; 3n-k).
Поэтому количество всех выписанных троек для данного k равно
Sk=(3n-k)-(2k-2)+(3n-k)-(2k-1)=6n-6k+3,
а количество всех троек, удовлетворяющих условию задачи, есть
S1+S2+…+Sn=3n^2.
Ответ: 3n^2.