Для изучения деятельности страховых организаций в регионе проведено 20% выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены следующие данные о доходах страховых организаций за отчетный год в млн.руб.: 9,7 9,0 10,2 10,3 9,8 10,0 6,0 10,5 16,0 11,6
11,7 12,8 11,9 8,5 7,0 8,0 12,2 13,5 13,9 10,5
10,8 8,5 8,5 12,2 11,5 13,3 13,8 15,0 13,5 10,7

1) Построить ряд распределения и выделить основные элементы ;
2) Построить график ряда распределения;
3) Определить средний доход на одну организацию;
4) Определить моду и медиану дохода;
5) Определить дисперсию, коэффициент вариации дохода и сделать вывод об однородности выборочной совокупности;
6) С вероятностью 0,954 определите в каких пределах будут находиться в целом по региону:
а) средний доход на одну страховую организацию;
б) доля страховых организаций с годовым доходом 12.0 млн.руб. и более;
в) как изменится численность выборочной совокупности, если:
ошибка для среднего дохода уменьшится на 10%;
ошибка для среднего дохода увеличится на 10%
7) Сделайте выводы.

1) Построение ряда распределения и выделение основных элементов:

Для построения ряда распределения используем данные о доходах страховых организаций за отчетный год в млн.руб.:

9,7 9,0 10,2 10,3 9,8 10,0 6,0 10,5 16,0 11,6
11,7 12,8 11,9 8,5 7,0 8,0 12,2 13,5 13,9 10,5
10,8 8,5 8,5 12,2 11,5 13,3 13,8 15,0 13,5 10,7

Упорядочим эти данные по возрастанию:

6,0 7,0 8,0 8,5 8,5 8,5 9,0 9,6 10,0 10,2
10,3 10,5 10,5 10,7 10,8 11,5 11,6 11,7 11,9 12,2
12,2 12,8 13,3 13,5 13,5 13,8 13,9 15,0 16,0

Выделим основные элементы ряда распределения:
- Минимальное значение дохода: 6,0 млн.руб.
- Максимальное значение дохода: 16,0 млн.руб.
- Размах: 16,0 - 6,0 = 10,0 млн.руб.
- Количество значений в ряду распределения: 30

2) Построение графика ряда распределения:

На оси абсцисс откладываем значения дохода в млн.руб., а на оси ординат откладываем количество организаций с соответствующими значениями дохода. По данным из ряда распределения строим график:

| * |
| * |
| * |
| * |
| * * |
| * * |
| * * * |
| * * * |
| * * * |
| * * * * * * |
| * * * * * * |
| * * * * * * |
| * * * * * * * |
| * * * * * * * |
| * * * * * * * * |
| * * * * * * * * |
| * * * * * * * * * |
| * * * * * * * * * * |
| * * * * * * * * * * * * |
| * * * * * * * * * * * * * |
| 6.0 7.0 8.0 8.5 8.5 8.5 9.0 9.6 10.0 |

3) Определение среднего дохода на одну организацию:

Для определения среднего дохода на одну организацию нужно найти сумму всех доходов и поделить ее на количество организаций:
9,7+9,0+10,2+10,3+9,8+10,0+6,0+10,5+16,0+11,6+11,7+12,8+11,9+8,5+7,0+8,0+12,2+13,5+13,9+10,5+10,8+8,5+8,5+12,2+11,5+13,3+13,8+15,0+13,5+10,7 = 329,7 млн.руб.

Средний доход на одну организацию: 329,7/30 = 10,99 млн.руб.

4) Определение моды и медианы дохода:

Мода - это значение, которое встречается наиболее часто в ряду распределения.
Медиана - это среднее значение по середине ряда распределения, когда все значения упорядочены по возрастанию.

Для определения моды нужно найти значение дохода, которое встречается наиболее часто:
В ряду распределения 8,5 млн.руб. встречается наиболее часто, поэтому мода равна 8,5 млн.руб.

Для определения медианы нужно найти значение дохода, которое находится посередине в упорядоченном ряду распределения:
Медиана равна среднему значению между 11-м и 12-м значениями в ряду распределения. Эти значения равны 11,7 млн.руб. и 11,9 млн.руб. Следовательно, медиана равна (11,7 + 11,9)/2 = 11,8 млн.руб.

5) Определение дисперсии, коэффициента вариации и выводы об однородности выборочной совокупности:

Для определения дисперсии нужно найти среднее значение квадратов отклонений значения дохода от среднего значения дохода на одну организацию. Сначала найдем отклонения:
9,7-10,99 = -1,29
9,0-10,99 = -1,99
10,2-10,99 = -0,79
10,3-10,99 = -0,69
9,8-10,99 = -1,19
10,0-10,99 = -0,99
6,0-10,99 = -4,99
10,5-10,99 = -0,49
16,0-10,99 = 5,01
11,6-10,99 = 0,61
11,7-10,99 = 0,71
12,8-10,99 = 1,81
11,9-10,99 = 0,91
8,5-10,99 = -2,49
7,0-10,99 = -3,99
8,0-10,99 = -2,99
12,2-10,99 = 1,21
13,5-10,99 = 2,51
13,9-10,99 = 2,91
10,5-10,99 = -0,49
10,8-10,99 = -0,19
8,5-10,99 = -2,49
8,5-10,99 = -2,49
12,2-10,99 = 1,21
11,5-10,99 = 0,51
13,3-10,99 = 2,31
13,8-10,99 = 2,81
15,0-10,99 = 4,01
13,5-10,99 = 2,51
10,7-10,99 = -0,29

Теперь возведем каждое отклонение в квадрат:
(-1,29)^2 = 1,6641
(-1,99)^2 = 3,9601
(-0,79)^2 = 0,6241
(-0,69)^2 = 0,4761
(-1,19)^2 = 1,4161
(-0,99)^2 = 0,9801
(-4,99)^2 = 24,9001
(-0,49)^2 = 0,2401
(5,01)^2 = 25,1001
(0,61)^2 = 0,3721
(0,71)^2 = 0,5041
(1,81)^2 = 3,2761
(0,91)^2 = 0,8281
(-2,49)^2 = 6,2001
(-3,99)^2 = 15,9201
(-2,99)^2 = 8,9401
(1,21)^2 = 1,4641
(2,51)^2 = 6,3001
(2,91)^2 = 8,4681
(-0,49)^2 = 0,2401
(-0,19)^2 = 0,0361
(-2,49)^2 = 6,2001
(-2,49)^2 = 6,2001
(1,21)^2 = 1,4641
(0,51)^2 = 0,2601
(2,31)^2 = 5,3361
(2,81)^2 = 7,8961
(4,01)^2 = 16,0801
(2,51)^2 = 6,3001
(-0,29)^2 = 0,0841

Теперь найдем среднее значение квадратов отклонений:
(1,6641 + 3,9601 + 0,6241 + 0,4761 + 1,4161 + 0,9801 + 24,9001 + 0,2401 + 25,1001 + 0,3721 + 0,5041 + 3,2761 + 0,8281 + 6,2001 + 15,9201 + 8,9401 + 1,4641 + 6,3001 + 8,4681 + 0,2401 + 0,0361 + 6,2001 + 6,2001 + 1,4641 + 0,2601 + 5,3361 + 7,8961 + 16,0801 + 6,3001 + 0,0841)/30 = 4,0775

Таким образом, дисперсия равна 4,0775

Для определения коэффициента вариации нужно найти корень квадратный из дисперсии, а затем разделить его на среднее значение дохода на одну организацию и умножить на 100%:
коэффициент вариации = √(4,0775) / 10,99 * 100% = 0,4824 * 100% = 48,24%

Коэффициент вариации равен 48,24%, что означает, что выборочная совокупность неоднородна, так как отклонения доходов от среднего значения составляют почти половину от среднего значения.

6) Определение интервала с вероятностью 0,954:

а) Средний доход на одну страховую организацию:
Согласно центральной предельной теореме, при большом объеме выборки распределение выборочного среднего будет приближаться к нормальному распределению. Используем правило "2 сигмы".

Средний доход на одну страховую организацию в пределах +/- 2 стандартных отклонения от среднего будет находиться в целом по региону с вероятностью 0,954.

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: √(4,0775) = 2,0197

Поэтому интервал будет соответствовать:
10,99 - 2*2,0197 дохода на одну организацию и
10,99 + 2*2,0197 дохода на одну организацию.

Вычислим значения:
10,99 - 2*2,0197 = 10,99 - 4,0394 = 6,9506
10,99 + 2*2,0197 = 10,99 + 4,0394 = 15,0294

Таким образом, со 95,4% вероятностью средний доход на одну страховую организацию будет находиться в пределах от 6,9506 млн.руб. до 15,0294 млн.руб.

б) Доля страховых организаций с годовым доходом 12.0 млн.руб. и более:
Если распределение данных о доходах приближается к нормальному, то с использованием правила "2 сигмы" можно найти интервал с вероятностью 0,954 для доли страховых организаций с годовым доходом 12,0 млн.руб. и более.

Проведем подсчет:

Средняя доходность на одну организацию: 10,99 млн.руб.
Среднеквадратическое отклонение: 2,0197

Подставим значения в формулу:
12,0 - 10,99 / 2,0197 = 0,5063

Таким образом, с вероятностью 0,954 доля страховых организаций с год