Дана трапеция ABCD, у которой BC // AD, O — точка пересечения диагоналей, SAOD = 27 см2, SBOC = 3 см2. Найдите SABCD

"Ключница Пелагея была в своем роде замечательная женщина: очень в молодых годах бежала она, вместе с отцом своим, от прежних господ своих Алакаевых в Астрахань, где прожила с лишком двадцать лет; отец ее скоро умер, она вышла замуж, овдовела, жила внаймах по купеческим домам и в том числе у купцов персиян, соскучилась, проведала как-то, что она досталась другим господам, именно моему дедушке, господину строгому, но справедливому и доброму, и за год до его смерти явилась из бегов в Аксакове. Дедушка, из уважения к такому добровольному возвращению, принял ее очень милостиво, а как она была проворная баба и на все мастерица, то он полюбил ее и сделал ключницей. Должность эту отправляла она и в Астрахани. Пелагея, кроме досужества в домашнем обиходе, принесла с собою необыкновенное дарование сказывать сказки, которых знала несчетное множество. Очевидно, что жители Востока распространили в Астрахани и между русскими особенную охоту к слушанью и рассказыванью сказок. В обширном сказочном каталоге Пелагеи вместе со всеми русскими сказками находилось множество сказок восточных, и в том числе несколько из «Тысячи и одной ночи». Дедушка обрадовался такому кладу, и как он уже начинал хворать и худо спать, то Пелагея, имевшая еще драгоценную не дремать по целым ночам, служила большим утешением больному старику. От этой-то Пелагеи наслушался я сказок в долгие зимние вечера. Образ здоровой, свежей и дородной сказочницы с веретеном в руках за гребнем неизгладимо врезался в мое воображение, и если бы я был живописец, то написал бы ее сию минуту, как живую"

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Для начала построим схему трапеции ABCD, чтобы лучше представить себе ситуацию.

A ______ B
| |
| |
| |
D ______ C

Здесь AB и CD - основания трапеции, и мы знаем, что BC // AD, что означает, что BC и AD - параллельны.

2. Поскольку O - точка пересечения диагоналей, мы можем нарисовать диагонали AO и BO. Теперь наша схема выглядит так:

A _______ B
|\ /|
| \ / |
| O |
| / \|
D _______ C

3. Мы также знаем, что площадь треугольника SAO равна 27 см2 и площадь треугольника SBOC равна 3 см2.

4. Вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Используя это, мы можем записать формулы для площадей треугольников SAO и SBOC.

S(SAO) = 1/2 * AO * h1 = 27 см2
S(SBOC) = 1/2 * BO * h2 = 3 см2

Здесь h1 - высота треугольника SAO, h2 - высота треугольника SBOC.

5. Так как AO и BO - биссектрисы треугольника ABC, они делят основания на две равные части.

Значит, AO = (AB + CD) / 2
и BO = (BC + AD) / 2

Теперь мы можем переписать формулы для площадей треугольников SAO и SBOC, используя выражения для AO и BO.

S(SAO) = 1/2 * (AB + CD) / 2 * h1 = 27 см2
S(SBOC) = 1/2 * (BC + AD) / 2 * h2 = 3 см2

6. Для дальнейшего решения проблемы нам нужно найти значения высот h1 и h2. Давайте предположим, что мы их находим. Затем можем произвести несложные алгебраические операции для решения уравнений относительно h1 и h2 и найти эти значения.

После того, как мы найдем h1 и h2, мы можем использовать их значения в формулах для площадей треугольников SAO и SBOC и найти их S(SAO) и S(SBOC).

7. Далее, мы можем найти площадь трапеции ABCD, сложив площади треугольников SAO и SBOC с площадью оставшейся части трапеции ABCD.

Площадь оставшейся части трапеции ABCD равна S(ABCD) = S(SAO) + S(SBOC) + S[прямоугольника, образуемого основаниями трапеции AB и CD]

Чтобы найти S[прямоугольника], нужно найти его высоту и умножить на длину одного из его оснований. Высота прямоугольника равна h, где h = (h1 + h2) / 2. Основание прямоугольника можно найти как разницу AB и CD или BC и AD.

Таким образом, S(ABCD) = S(SAO) + S(SBOC) + h * [AB - CD] или h * [BC - AD].

8. Теперь у нас есть все необходимые формулы и значения для нахождения площади трапеции ABCD. Подставим значения и рассчитаем ее площадь.

S(ABCD) = S(SAO) + S(SBOC) + h * [AB - CD] или h * [BC - AD].

По определению векторов площадь треугольника равна половине модуля их векторного произведения.
Координаты векторного произведения определяются координатами правой тройки точек, задаваемых координатами, в которых глазами являются точки, причисленные вначале.

Найдите векторное произведение, затем площадь прямоугольного треугольника и сложите их.

В итоге вы получите площадь треугольника, которую нужно найти.