Дан треугольник АВС с основанием АВ = √3/2 и высотой СН = √6/3. Известно, что АН: НВ = 2:1. В угол ВАС вписана окружность, с центр которой

решение задания по геометрии
 

Для решения этой задачи мы можем использовать знания о треугольниках, окружностях и их свойствах. Давайте посмотрим на треугольник АВС и окружность, вписанную в угол ВАС.

1. Рассмотрим окружность, вписанную в угол ВАС. По свойству окружности, центр окружности будет находиться на серединном перпендикуляре к стороне АВ треугольника АВС. Обозначим центр окружности как О.

2. Заметим, что точка Н — основание высоты треугольника АВС, а значит, она будет лежать на одной из радиусов окружности. Обозначим точку пересечения радиуса с окружностью как К.

3. Мы знаем, что АН: НВ = 2:1, что значит, что отношение длины отрезка АО к длине отрезка ОВ также будет 2:1. Это можно обозначить как АО: ОВ = 2:1.

4. Теперь мы можем рассмотреть треугольник АОК. В этом треугольнике у нас известны длины сторон, так как ОК — это радиус окружности, и АО и ОВ — известные отношения 2:1.

5. Чтобы найти длину отрезка ОК, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника АОК. У нас есть катеты, АО и ОВ, и гипотенуза, ОК. Мы можем воспользоваться формулой: АО² + ОВ² = ОК². Подставляем значения:

(2x)² + (x)² = ОК²,

4x² + x² = ОК²,

5x² = ОК².

Теперь мы знаем, что площадь треугольника АВС равна половине произведения основания и высоты:

S(АВС) = (1/2) * (АВ * СН).

Мы знаем, что АВ = √3/2 и СН = √6/3, подставляем значения:

S(АВС) = (1/2) * (√3/2) * (√6/3),

S(АВС) = (1/2) * (√18/6),

S(АВС) = (√18/12).

6. Мы также знаем, что площадь треугольника АВС можно выразить через радиус окружности, вписанной в угол ВАС, и сторону треугольника АВ:

S(АВС) = (1/2) * (АВ * OK).

Мы уже нашли значение АВ и можем подставить его в уравнение:

(√18/12) = (1/2) * (√3/2) * OK.

Делаем преобразования:

√18/12 = (√3/4) * OK.

Меняем местами числитель и знаменатель значения ОК:

OK = (√18/12) / (√3/4),

OK = (√18 * 4) / (√3 * 12),

OK = (2 * 3 * 4) / (2 * 2 * 3),

OK = 4 / 2,

OK = 2.

7. Итак, мы нашли, что длина отрезка ОК, равная радиусу окружности, вписанной в угол ВАС, составляет 2.

Ответ: Длина отрезка ОК, равная радиусу окружности, вписанной в угол ВАС, равна 2.