Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите расстояние между прямыми B1D и D1C, если длина ребра куба равна 2 см.

Ответ в виде картинки приложен к ответу

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1. Найдем точки пересечения прямых B1D и D1C:
Чтобы найти точки пересечения прямых B1D и D1C, нам нужно знать, как они заданы. Нам дан куб ABCDA1B1C1D1, поэтому мы можем использовать его свойства.

Прямая B1D проходит через точку B1 (вершина куба) и D (середина ребра AD). Точка B1 имеет координаты (2, 0, 2), и точка D имеет координаты (1, 1, 1).

Прямая D1C проходит через точку D1 (вершина куба) и C (середина ребра DC). Точка D1 имеет координаты (1, 0, 1), и точка C имеет координаты (1, 1, 0).

Теперь нам нужно найти точки пересечения этих двух прямых.

2. Найдем уравнение прямой B1D:
Уравнение прямой в трехмерном пространстве может быть записано в виде:
x = x1 + t(x2 - x1)
y = y1 + t(y2 - y1)
z = z1 + t(z2 - z1)

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек на прямой, а t - параметр, который определяет точку на прямой.

Заменяя координаты точек B1 и D в уравнение прямой B1D, получаем:
x = 2 + t(1 - 2) = 2 - t
y = 0 + t(1 - 0) = t
z = 2 + t(1 - 2) = 2 - t

3. Найдем уравнение прямой D1C:
Аналогично, уравнение прямой D1C можно записать в виде:
x = x1 + t(x2 - x1)
y = y1 + t(y2 - y1)
z = z1 + t(z2 - z1)

Заменяя координаты точек D1 и C в уравнение прямой D1C, получаем:
x = 1 + t(1 - 1) = 1
y = 0 + t(1 - 0) = t
z = 1 + t(0 - 1) = 1 - t

4. Найдем точки пересечения прямых B1D и D1C:
Чтобы найти точки пересечения прямых, мы должны приравнять соответствующие координаты двух уравнений:
2 - t = 1
t = 1

Таким образом, t = 1. Подставляем эту значение t в уравнения прямых B1D и D1C для нахождения соответствующих точек:
Для прямой B1D:
x = 2 - 1 = 1
y = 1
z = 2 - 1 = 1

Для прямой D1C:
x = 1
y = 1
z = 1 - 1 = 0

Таким образом, точка пересечения прямых B1D и D1C имеет координаты (1, 1, 1) и является серединой ребра BC куба ABCDA1B1C1D1.

5. Вычислим расстояние между прямыми B1D и D1C:
Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти, используя формулу:

d = ||(A1 - A2) × n|| / ||n||

Где A1 и A2 - точки на прямых, n - направляющий вектор, причем модуль ||n|| равен длине ребра куба.

В нашем случае, A1 = (1, 1, 1) и A2 = (1, 1, 0) (значения, которые мы нашли на предыдущем шаге).
Направляющий вектор n можно найти как векторное произведение направляющих векторов прямых B1D и D1C.

Направляющий вектор B1D:
(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
(1 - 2, 1 - 0, 1 - 2)
(-1, 1, -1)

Направляющий вектор D1C:
(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
(1 - 1, 1 - 0, 0 - 1)
(0, 1, -1)

Теперь найдем векторное произведение направляющих векторов B1D и D1C:
n = (B1D) × (D1C) = (i, j, k)
= (-1, 1, -1) × (0, 1, -1)
= i((1)(-1) - (-1)(0)) - j((-1)(-1) - (-1)(0)) + k((-1)(1) - (1)(1))
= -i - j - k

Модуль вектора n равен:
||n|| = √(i^2 + j^2 + k^2)
= √((-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2)
= √(1 + 1 + 1)
= √3

Теперь, подставим значения в формулу для расстояния:
d = ||(A1 - A2) × n|| / ||n||
= ||((1, 1, 1) - (1, 1, 0)) × (-i - j - k)|| / √3
= ||(0, 0, 1) × (-i - j - k)|| / √3
= ||(i(-1) + j(0) + k(0))|| / √3
= ||(-i)|| / √3
= √(i^2) / √3
= √(1) / √3
= 1 / √3
= √3 / 3

Таким образом, расстояние между прямыми B1D и D1C равно √3 / 3 см.