Что происходит чаще и во сколько раз: прохождения Венеры по диску Солнца или прохождения Венеры за диском Солнца?

Выясним, при каких условиях наступают прохождения Венеры по диску Солнца или за ним. Обозначим через S, R и r радиусы Солнца, Земли и Венеры, а через L и l - расстояния от Солнца до Земли и Венеры (будем считать их орбиты круговыми).

На рисунке видно, что для наступления прохождения Венеры по диску Солнца нужно, чтобы Венера хотя бы задела краем конус, описанный вокруг поверхностей Солнца и Земли. Учтем, что все угловые величины, о которых пойдет речь, малы. В этом случае угол раствора конуса а равен

Прохождение произойдет, если в момент нижнего соединения Венера будет отстоять от плоскости эклиптики на расстояние, не превышающее величину h1:
 
В случае покрытия Венеры Солнцем угол раствора конуса составит
 
а максимальное расстояние Венеры от плоскости эклиптики в момент уже верхнего соединения

В течение своего орбитального периода Венера может отходить от плоскости эклиптики на значительно большие расстояния (более 6 млн. км). Поэтому вероятность наступления прохождения по диску Солнца или за ним можно считать пропорциональной величине h1 или h2, соответственно. А это значит, что прохождения за диском Солнца происходят в среднем в h2/h1 = 5.94 раза чаще, чем прохождения по его диску.

Интересно, что прохождения Венеры за диском Солнца происходят в ту же эпоху и в том же календарном месяце, что и прохождения по диску дневного светила. Так, более редкие прохождения Венеры по диску Солнца в июне 2004 и 2012 года сопровождаются сразу десятью покрытиями Венеры Солнцем, которые также происходят в июне каждые 8 лет с 1976 до 2048 года.