Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является прямоугольником. Докажите, что диагонали

Жабры

Для доказательства данного утверждения нам понадобится знание о свойствах прямоугольника и о свойствах параллелограмма.

1. Дано, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника, является прямоугольником.
Обозначим этот четырёхугольник как ABCD, где A, B, C, D - вершины, являющиеся серединами сторон исходного четырёхугольника.

2. Первое свойство прямоугольника: противоположные стороны прямоугольника равны.
В нашем случае, это означает, что сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD.

3. Второе свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны и пересекаются в середине.
Обозначим точку пересечения диагоналей как M.

4. Доказательство:

- Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
По свойству 2, сторона AB равна стороне CD.
По свойству 1, сторона BC равна стороне AD.
Таким образом, у нас есть два треугольника с равными сторонами, следовательно, они равны.
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по сторонам.

- Рассмотрим треугольники ABC и DCM.
По пункту 2, диагонали прямоугольника равны и пересекаются в середине.
Мы знаем, что точка M - середина диагонали BD.
У нас есть два треугольника с равными сторонами и общей стороной, следовательно, они равны.
Следовательно, треугольники ABC и DCM равны по сторонам.

- Так как треугольники ABC и CDA равны по сторонам, а треугольники ABC и DCM равны по сторонам,
то по свойству равенства треугольников, треугольники CDA и DCM равны по сторонам.

- А так как треугольники CDA и DCM равны по сторонам, то и по свойству равенства треугольников,
треугольники CDA и DCM равны по углам.

- Таким образом, по свойству равенства треугольников, угол CDA равен углу DCM.

- Вершина CDA принадлежит диагонали AC, а вершина DCM принадлежит диагонали CM.
Если угол CDA равен углу DCM, а правая сторона им принадлежит одной диагонали, то и остальные стороны должны принадлежать одной диагонали.

- Значит, сторона AC принадлежит диагонали CM, а сторона CD принадлежит диагонали AM.

- Так как точка M - середина BD, а сторона AC принадлежит диагонали CM,
то точка C также является серединой диагонали BD.

- Аналогично, используя рассуждения аналогичные 4 пункту, можно доказать, что точка D тоже является серединой диагонали AC.

- Таким образом, диагонали AC и BD делятся пополам в точках C и D соответственно.

Из данных рассуждений мы можем сделать вывод, что в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD
делят друг друга пополам, что является свойством параллелограмма.

Доказательство завершено.