Астероид обращается вокруг Солнца по круговой орбите, лежащей в плоскости эклиптики. По удивительному совпадению в каждое

В задаче сразу же напрашивается тривиальное решение – радиус орбиты астероида равен радиусу орбиты Марса. Однако такое решение не может реализоваться практически, так как в этом случае астероид и Марс окажутся в одной точке пространства. Найдем другие решения. Синодический период внешней планеты S (а нас интересуют только такие, раз речь идет о противостоянии) связан с периодом обращения этой планеты и Земли T и T0 соотношением
 
Однако нужно сразу оговорить, что эта формула справедлива для планеты или астероида, обращающегося вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля. Марс этому условию удовлетворяет, обозначения T и S будут далее относиться к нему. Для выполнения условия задачи синодический период астероида S* не обязательно должен быть равен синодическому периоду Марса S, но может быть меньше в целое число раз:
S* = S/ n.
Период обращения астероида вокруг Солнца будет равен
 
Случай n = 1 соответствует упомянутому выше тривиальному решению, а при n = 2 мы получаем период обращения астероида 15.8 лет. По III закону Кеплера радиус его орбиты оказывается равным 6.3 а.е. Решения с n > 3 приводят к отрицательным значениям периода T*. Фактически эти решения относятся к случаю обратного направления вращения астероида, для которого последняя формула будет иметь вид:
 
При этом астероид остается внешним, и период T* должен превышать один год. Этому условию удовлетворяют случаи n = 3 и n = 4, период обращения астероида для этих случаев составляет соответственно 2.47 и 1.14 года, а радиус орбиты – 1.82 и 1.09 а.е.