Почему клетку считают живой системой?

Система - совокупность элементов и функциональных связей между ними.
Клетка - безусловно, система, потому что она состоит из различных составных частей (стенка, мембрана, цитоплазма, ядро) и т. д. и функциональных связей между ними (стенка отгораживает содержимое клетки, цитоплазма наполняет клетку, в ядре хранится ДНК и синтезируются белки, и т. д.) .

Биосистема = живая система.
Живая система - (грубо) система, которая поддерживает свою цельность и создаёт себе подобных.
Клетка поддерживает свою цельность и создаёт себе подобных (размножается) .
Следовательно, клетка - биосистема.
Целостность - свойство системы, первичность целого по отношению к частям; появление у системы новой функции, нового качества, органично вытекающих из составляющих ее элементов, но не присущих ни одному из них, взятому изолированно.

Отдельно взятые составляющие клетки не являются клетками. А все вместе составляющие клетки образуют клетку. Следовательно, клетка (как и всякая система) обладает свойством целостности.

Следовательно, клетка - целостная биологическая система.