ABCD – тетраэдр, DC=8 см, CB=6 см, AD перпендикулярен плоскости АВС, угол DCB равен 900, угол DBA равен 450. Найдите AD.. МABC – тетраэдр, МA перпендикулярен плоскости АВС, МC=4 см, CB =6 см, угол CAB равен 1200, AC=AB. Найти МA, угол МBC .

Для решения первой задачи, найдем значение стороны AD.

Из условия задачи, мы знаем следующие значения:
DC = 8 см, CB = 6 см, угол DCB = 90°, угол DBA = 45°.

Для начала построим треугольник DCB с заданными сторонами. Зная значения сторон DC и CB, мы можем построить этот треугольник.

Теперь введем точку E на стороне CB так, чтобы DE было перпендикулярно плоскости ABCD.

Так как DBA = 45°, а угол DCB = 90°, то угол DBE = угол DBA - угол DCB = 45° - 90° = -45°.

Треугольник DEB является прямоугольным, так как у него есть прямой угол. Также, так как DEB прямоугольный и DBA = 45°, то угол DBE = -45°.

Мы знаем, что тангенс угла – это отношение противолежащего катета к окололежащему катету.

Тангенс угла DBE = DE/BE.

Так как угол DBE = -45°, то тангенс(-45°) = тангенс(45°) = 1.

Получаем, что DE/BE = 1.

Так как DE = DC - EC и BC = BE + EC, то мы можем записать следующее:

DC - EC / BE + EC = 1.

Теперь подставим значения DC = 8 см и BE = 6 см в это уравнение:

8 - EC / 6 + EC = 1.

6(8 - EC) = 8 + EC.

48 - 6EC = 8 + EC.

7EC = 40.

EC = 40/7 ≈ 5.71 см.

Так как DE = DC - EC, то DE = 8 - 5.71 ≈ 2.29 см.

Теперь мы можем найти значение стороны AD, так как AD = DE / sin(DBA).

sin(DBA) = sin(45°) = 1/√2.

AD = 2.29 / (1/√2) = 2.29 * √2 ≈ 3.23 см.

Таким образом, сторона AD равна приблизительно 3.23 см.

Теперь перейдем ко второй задаче.

Из условия задачи, мы знаем следующие значения:
MC = 4 см, CB = 6 см, угол CAB = 120°, AC = AB.

Для начала построим треугольник MCA с заданными сторонами. Зная значения сторон MC и CA, мы можем построить этот треугольник.

Так как угол CAB = 120°, то угол CAM = 180° - 120° = 60°.

Теперь введем точку F на стороне CB так, чтобы MF было перпендикулярно плоскости ABC.

Треугольник MFC является прямоугольным, так как у него есть прямой угол. Также, так как MFC прямоугольный и CAB = 120°, то угол MCF = 90° - 120° = -30°.

Так как MCF является прямоугольным треугольником, мы можем использовать тригонометрические функции для решения.

Мы знаем, что тангенс угла – это отношение противолежащего катета к окололежащему катету.

Тангенс угла MCF = MC/CF.

Так как угол MCF = -30°, то тангенс(-30°) = тангенс(30°) = √3/3.

Получаем, что MC/CF = √3/3.

Теперь подставим значения MC = 4 см в это уравнение:

4/CF = √3/3.

CF = 4 * 3 / √3 ≈ 6.93 см.

Так как MF = MC - CF, то MF = 4 - 6.93 ≈ -2.93 см.

Но так как угол MCF = -30°, то треугольник MCF является остроугольным, и MF положительное.

Теперь мы можем найти значение стороны MA, так как MA = √(MF^2 + AF^2).

Так как MF ≈ 2.93 см и AF ≈ CF, то MA ≈ √(2.93^2 + 6.93^2) ≈ √(8.57 + 47.95) ≈ √56.52 ≈ 7.52 см.

Таким образом, сторона MA равна приблизительно 7.52 см.

Теперь найдем значение угла MBC.

Так как MA перпендикулярна плоскости ABC, а угол CAB = 120°, то угол MCA = 90°.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для решения.

Теорема косинусов гласит, что в треугольнике ABC с сторонами a, b и c и углом C между сторонами a и b, квадрат стороны c равен сумме квадратов сторон a и b минус удвоенного произведения сторон a и b на косинус угла C.

Используя теорему косинусов для треугольника MBC, где MB = 6 см, MC = 4 см и угол MBC = x, получаем следующее:

MA^2 = MB^2 + MC^2 - 2 * MB * MC * cos(MBC).

Подставляя значения MA = 7.52 см, MB = 6 см и MC = 4 см, получаем:

(7.52)^2 = (6)^2 + (4)^2 - 2 * 6 * 4 * cos(MBC).

56.43 = 36 + 16 - 48 * cos(MBC).

56.43 = 52 - 48 * cos(MBC).

48 * cos(MBC) = 52 - 56.43.

48 * cos(MBC) = -4.43.

cos(MBC) = -4.43 / 48 ≈ -0.0923.

Теперь мы можем найти значение угла MBC, так как cos(MBC) = -0.0923.

MBC = arccos(-0.0923) ≈ 94.24°.

Таким образом, угол MBC равен приблизительно 94.24°.

В итоге, мы нашли значения стороны AD и стороны MA, а также угол MBC для заданных тетраэдров ABDC и MABC.