В каком случае нужно писать children's, а в каком childrens'? В чем разница, где стоит апостроф и в каких случаях как писать заметить, что слово "children" Я взяла для примера и не знаю может ли там вообще быть апостроф в другом месте. Просто пример.

Если говорить о показе принадлежности, то:
Апостроф стоит перед s в том случае, когда что-то (кто-то) указывает на чью-то принадлежность и стоит в ЕДИНСТВЕННОМ числе. (Пример: Katrina’s ball)
Апостроф стоит после s, когда владельцев несколько (МНОЖЕСТВЕННОЕ число) пример: (parents’ house)

Правильно пишется только children's, тут притяжательный падеж

Объяснение:

Давай возьмём в пример sister

Sisters - сёстры

Sister's ball - мяч сестры (притяжательный падеж единственного числа)

Sisters' ball - мяч сестёр (притяж. падеж множ.числа)