the boy ( being running \ was running \ running \ who having run ) past the house suddenly stopped Обязательно объяснения, что за правило, как оно тут применимо, с каких указывающих слов, по лексическому значению. Без нормального объяснения ответ не принимаю.

The boy running past the house suddenly stopped.

Объяснение:

В этом предложении сказуемое - глагол stopped, а после подлежащего по смыслу из преложенных вариантов подходит только причастие running, которое, следуя за определяемым существительным вместе с относящимися к нему словами, образует определительный причастный оборот.

The boy running past the house suddenly stopped. — Мальчик, (какой?) бегущий мимо дома, вдруг остановился.

Примечание: в отличие от русского, в английском языке определительные причастные обороты обычно НЕ выделяются запятыми.

Being running и who having run -  таких форм/конструкций не существует.

Was running не подходит, так как у нас уже есть сказуемое в предложении.

The boy running past the house suddenly stopped.

Объяснение:

Как было сказано ранее, это - определительный причастный оборот. Он не выделяется запятыми в английском, поэтому это немного сложно понять русскоговорящим.

Мальчик, бегущий мимо дома, внезапно остановился.

The boy - Мальчик

running past the house - бегущий мимо дома

suddenly stopped - внезапно остановился

Being running, who having run - неправильно абсолютно

Was running - было бы правильно, если бы предложение звучало так:

The boy was running past the house and suddenly stopped