Когда мы пишем much,когда many ,а ,когда lot of,lots of.

"Many" используется только с исчисляемыми существительными во множественном числе, то есть с объектами, которые посчитать можно. Many cars, many bottles.

Much используется с неисчисляемыми существительными в единственном числе, то, что посчитать в принципе нельзя: Much water, much bread, much money.

A lot of/lots of можно использовать и в том и в том случае, это более неформальный и разговорный вариант, и дословно переводится как "полно" каких то объектов There are a lot of people near the museum.

A lot можно перевести как "очень часто" или "очень сильно" - She likes it a lot