He (put,puts) the book on the table and went awey. put ore puts?

Правильный вариант — put, потому что предложение в времени. Puts же переводится как кладёт.

Спряжение глагола put: put — put — put.

He put the book on the table and went away.
Перевод: Он положил книгу на стол и ушёл.