Знайти інтервали монотонності тa екстремуми заданої функції:
y = 2x^3 - 3x^2 - 72x + 5

y'=(x^3)'-(3x^2)'-(72x)'+(5)'=3x^2-6x-72+0=3x^2-6x-72

y'=0

3x^2-6x-72=0

D=b^2-4ac

D=(-6)^2-4×3×(-72)=36+12×72+36+164=36+864=900>0(2различных действительных корня)

Х1, 2=-b+- корень из D/2a

X1=-(-6)+30/2×3=6+30/6=36/6=6

X2=(-6)-30/2×3=6-30/6=-24/6=-4

Получились две точки (6;-4)

Рисуешь числовую прямую и отмечаешь на них данные точки

Для того, чтобы определить экстремумы данных точек, ты должен сначала определить знаки (+) или (-) сверху луча

Сначала берёшь т. (6) и смотришь какое число больше 6,ну например 10,подставляешь 10 в уравнение

3х^2-6х-72=0

И считаешь

3×(10)^2-6×10-72=300-60-72=240-72=168>0

Значит на этом интервале, в области точки 6 будет (+)

След. точка(-4) будет (-)

Ты получил(-) и(+)

Точка(-4)-точка минимума функции

(6)-точка максимума

1. найдем производную. y'=6x²-6x-72=6(x²-x-12)

2. найдем стационарные точки. 6(x²-x-12)=0, по Виету х=4; х=-3.

3. Выясним, как ведет себя производная при переходе через эти точки.  решив неравенство, например, y'>0, методом интервалов.

-34

+                         -                        +

точка х=-3- точка максимума, максимум равен у(-3)=2*(-3)³ - 3*(-3)²- 72*(-3) + 5=-54-27+216+5=221-81=140

точка х=4- точка минимума, минимум функции равен

у(4)=2*4³ - 3*4²- 72*4 + 5=128-48-228+5=-143

Интервалы монотонности - убывает функция при х∈[-3;4]

(-∞;-3] и при х∈[4;+∞)