знайти найменше значення функції (4-x^2)/4+x^2) на проміжку [1;3]

Для решения этой задачи, первым шагом будет определение, какая конкретно функция имеет минимальное значение на заданном интервале [1;3].

Данное задание требует определения наименьшего значения функции, следовательно, мы должны использовать понятие производной функции. Первым делом найдем производную функции, нашей видится функция f(x) = (4-x^2)/(4+x^2).

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = [(4+x^2)(-2x) - (4-x^2)(2x)] / (4+x^2)^2.

После упрощения, получаем:

f'(x) = (-8x) / (4+x^2)^2.

Шаг 2: Найдем критические точки, это означает, что мы должны найти значения x, при которых производная f'(x) равна нулю или не существует.

Для этого приравниваем f'(x) к нулю и находим значения x:

(-8x) / (4+x^2)^2 = 0.

Так как деление на ноль недопустимо, значит, производная не имеет значений x, на которых она равна нулю или не существует на интервале [1;3].

Шаг 3: Определим значения функции на граничных точках интервала [1;3] и найдем значение функции внутри интервала [1;3].

Для этого вычисляем f(1), f(3) и находим значение функции внутри интервала.

f(1) = (4-1^2)/(4+1^2) = 3/5 = 0.6.

f(3) = (4-3^2)/(4+3^2) = -5/13 ≈ -0.385.

Мы видим, что на граничных точках интервала [1;3] значения функции равны 0.6 и -0.385.

Шаг 4: Проверяем значение функции внутри интервала.

Найдем значение функции внутри интервала, например, f(2):

f(2) = (4-2^2)/(4+2^2) = 0/8 = 0.

Мы видим, что значение функции на интервале [1;3] равно 0.

Шаг 5: Определяем минимальное значение функции на интервале.

Мы получили значения функции равные 0.6, -0.385 и 0 на границах и внутри интервала [1;3].

Наименьшее значение функции на заданном интервале будет равно -0.385.

Таким образом, минимальное значение функции (4-x^2)/(4+x^2) на промежутке [1;3] равно -0.385.