Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції f(x)=15x³-x⁵

Ми знаємо, що точки екстремуму функції - це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Знайдемо похідну функції:

f'(x) = 45x² - 5x⁴

Для знаходження точок екстремуму розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

45x² - 5x⁴ = 0

5x²(9 - x²) = 0

Отримали два корені: x₁ = 0 та x₂ = √9 = 3.

Так як похідна f'(x) являє собою параболу зі старшим коефіцієнтом, який додатній (45), то ми бачимо, що функція зростає до точки Х1, потім спадає до точки Х2, і знову зростає після точки Х₂. Отже, максимум функції досягається в точці Х₁ = 0 і становить f(0) = 0, а мінімум функції досягається в точці Х₂ = 3 і становить f(3) = 405.

Отже, точки екстремуму цієї функції: (0,0) - максимум і (3,405) - мінімум.