Знайдіть область визначення функц

Область визначення функції складається зі значень аргументу, при яких функція має значення, тобто з "дозволених" значень х. У цьому випадку область визначення обмежена двома умовами:

1) знаменник дробу не може бути рівним нулю (оскільки ділення на нуль неможливе) - тобто х ≠ 2

2) в дужках під коренем функції має бути додатнє число або нуль, оскільки корінь з від'ємного числа неможливий - тобто 20 + x - x² + 5 ≥ 0

Щоб знайти дозволені значення х, розв'язуємо нерівність:

20 + x - x² + 5 ≥ 0

- x² + x + 25 ≥ 0

Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння, яке збігається з лівою частиной нерівності:

x² - x - 25 = 0

D = 1 + 4 * 25 = 101

x₁ = ( -1 + √101 ) / 2 ≈ 5.067

x₂ = ( -1 - √101 ) / 2 ≈ -4.067

Ці значення розділяють вісь х на три інтервали: ( -∞, -4.067 ), ( -4.067, 2 ), ( 2, +∞ ). Всередині першого і третього інтервалів нерівність виконується для будь-якого значення х, тож до області визначення функції належать всі числа, окрім двійки.

Отже, область визначення функції y = √( 20 + x - x² + 5 / ( x - 2 ) складається з усіх чисел, крім 2.

D = ( -∞, 2 ) ∪ ( 2, +∞ ).