Здравствуйте , с решением уравнения и объясните его решение

Ответы

RL228 16.08.2021 17:13

$\displaystyle \tt \{\; \pm \dfrac{1990 \cdot \pi }{3} +3980 \cdot \pi \cdot k, \; \pm \dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot n, \;k \in Z, \; n \in Z} \right. \; \}$

Объяснение:

Дано уравнение

$\displaystyle \tt \sqrt{cos\frac{x}{1990} -\frac{1}{2} } +\sqrt{cosx -\frac{1}{2} } =\sqrt{cos\frac{x}{1990}+cosx -1} .$

ОДЗ:

$\displaystyle \tt cos\frac{x}{1990} -\frac{1}{2} \geq 0; \;\; cosx -\frac{1}{2} \geq 0; \;\; cos\frac{x}{1990}+cosx -1\geq 0 .$

Преобразуем уравнение и вводим обозначения:

$\displaystyle \tt \sqrt{cos\frac{x}{1990} -\frac{1}{2} } +\sqrt{cosx -\frac{1}{2} } =\sqrt{cos\frac{x}{1990}-\frac{1}{2} +cosx -\frac{1}{2} } \\\\a=cos\frac{x}{1990} -\frac{1}{2} , \; b=cosx -\frac{1}{2} .$

Тогда получим уравнение

$\displaystyle \tt \sqrt{a} +\sqrt{b} =\sqrt{a+b}.$

Учитывая ОДЗ возведём оба части уравнения в квадрат и упростим:

$\displaystyle \tt (\sqrt{a} +\sqrt{b} )^2=(\sqrt{a+b})^2\\\\a+2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} +b=a+b\\\\2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =0\\\\\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =0\\\\\left [ {{\sqrt{a}=0} \atop {\sqrt{b}=0}} \right.$

$\displaystyle \tt \left [ {{a=0} \atop {b=0}} \right..$

Далее, сделаем обратную подстановку и решаем уравнение:

$\displaystyle \tt \left [ {{cos\dfrac{x}{1990} -\dfrac{1}{2} =0} \atop {cosx -\dfrac{1}{2} =0}} \right. \\\\\left [ {{\dfrac{x}{1990} =\pm \dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot k, \; k \in Z} \atop {x =\pm \dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot n, \; n \in Z} \right. \\\\\left [ {{x=\pm \dfrac{1990 \cdot \pi }{3} +3980 \cdot \pi \cdot k, \; k \in Z} \atop {x =\pm \dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot n, \; n \in Z} \right. .$