Задано координаты вершины пирамиды a(4, 4, -10) ; b(4, 10, 2) ; c(2, 8, 4) ; d(9, 6, 4) .

найти:

1) уравнение плоскости авс и ее нормальный вектор

2) отрезки, которые отрезает плоскость авс от осей координат

3) уравнение плоскости pi, которое проходит через вершину d паралельно к грани abc

Даны координаты вершин пирамиды:

A(4, 4, -10) ; B(4, 10, 2) ; C(2, 8, 4) ; D(9, 6, 4).

1) уравнение плоскости АВС и ее нормальный вектор

Находим векторы АВ и АС.

АВ = (0;6; 12), АС = (-2; 4; 14).

Их векторное произведение равно.

i           j         k |         i         j

0         6        12 |        0         6

-2        4        14 |       -2         4 = 84i - 21j +0k - 0j - 4+ 12k = 36i - 24j + 12k.

Нормальный вектор к плоскости АВС равен (36; -24; 12).

Его же можно выразить, разделив на кратную величину 12:

(3; -2; 1).

Уравнение плоскости АВС найдём по точке А и нормальному вектору :  A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Если теперь в уравнении раскрыть скобки и привести подобные члены, получим общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где D = −Ax0 − By0 − Cz0, A = 3, B = -2, C = 1, точка A(4, 4, -10).

Найдём значение D:

D = -3*4 - (-2)*4 - 1*(-10) = -12 + 8 + 10 = 6.

Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.

2) отрезки, которые отрезает плоскость АВС от осей координат.

Для этого уравнение плоскости АВС представить в "отрезках".

Уравнение АВС: 3x - 2y + z + 6 = 0.

3x - 2y + z = -6. Разделим обе части уравнения на -6:

(3/-6)x - (2/-6)y + (1/-6)z = 1.

Получаем: (-1/2)x + (1/3)y + (-1/6)z = 1.

Это и есть длины отрезков, отсекаемые плоскостью АВС на осях:

Ох: (-1/2), Оу: (1/3), Oz: ((-1/6).

3) уравнение плоскости pi, которое проходит через вершину D параллельно к грани ABC.

Общее уравнение заданной плоскости имеет вид:

Ax+By+Cz+D=0                                   (2)

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (2) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (2). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (2):

Ax0+By0+Cz0+D=0. (3)

Решим (3) относительно D:

D=−(Ax0+By0+Cz0) (4)

Координаты нормального вектора определены:

A =  3, B = −2, C =  1.

Подставляя координаты точки D и координаты нормального вектора в (4), получим:  

D=−(Ax0 + By0 + Cz0) = −(3*9 +  (−2)*6 +1*4) =  −19.

Подставляя значения A, B, C, D в (2), получим уравнение плоскости, проходящей через точку D(9, 6, 4) и параллельной плоскости ABC:

3 x  − 2  y +  z − 19 = 0.