Задание 1. Найти минимальную ДНФ для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1). Задание 2. Найти число булевых функций от n переменных, сохраняющих 1.

Задание 3. Найти число самодвойственных функций от n переменных.

Задание 4. Найти число линейных функций от n переменных.

Задание 5. Методом неопределённых коэффициентов найти полином Жегалкина для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1).

Задание 1. Найти минимальную ДНФ для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1):

ДНФ (Дизъюнктивная нормальная форма) представляет собой логическое выражение, состоящее из логического ИЛИ (OR) для комбинаций переменных, аргументов функции, где каждое выражение связано логическим И (AND). Для построения минимальной ДНФ, нужно учесть нулевые значения функции.

Столбец значений: (0,1,1,0,1,0,0,1)

Заметим, что значения функции, равные 1, соответствуют номерам позиций 1, 2, 4 и 7 (используется нумерация с 0).

Теперь построим ДНФ, в которой будут учтены только позиции, в которых значение равно 1:

ДНФ = (¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3) ∨ (x1 ∧ ¬x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ x2 ∧ x3)

Таким образом, минимальная ДНФ для данной функции будет:
(¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3) ∨ (x1 ∧ ¬x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ x2 ∧ x3)

Задание 2. Найти число булевых функций от n переменных, сохраняющих 1:

Для ответа на данное задание, нужно рассмотреть количество возможных значений функций.

Каждая переменная в булевой функции может иметь два возможных значения: 0 или 1. Таким образом, для n переменных количество возможных комбинаций значений будет равно 2^n.

Однако, нам нужно найти только те функции, которые сохраняют значение 1. Это означает, что выходное значение функции должно быть 1 для всех возможных комбинаций значений переменных.

Таким образом, количество булевых функций от n переменных, сохраняющих 1, будет равно 1, так как существует только одна функция, которая сохраняет значение 1 для всех возможных комбинаций значений переменных.

Задание 3. Найти число самодвойственных функций от n переменных:

Самодвойственные функции - это функции, для которых значение функции равно инвертированному значению, если инвертировать значения аргументов функции.

Для ответа на данное задание, нужно рассмотреть количество возможных значений функций.

Каждая переменная в самодвойственной функции может иметь два возможных значения: 0 или 1. Таким образом, для n переменных количество возможных комбинаций значений будет равно 2^n.

Однако, нам нужно найти только те функции, которые являются самодвойственными.

Известно, что самодвойственные функции недоступны для четного n (n=0,2,4,6,...), иначе их количество будет равно 0.

Если n нечетно (n=1,3,5,7,...), то количество самодвойственных функций будет равно (2^n)/2.

Задание 4. Найти число линейных функций от n переменных:

Линейная функция представляет собой комбинацию переменных и их инвертированных значений, где каждая переменная участвует с коэффициентом 0 или 1.

Для ответа на данное задание, нужно рассмотреть количество возможных комбинаций функций.

Каждая переменная в линейной функции может иметь два возможных значения: 0 или 1. Таким образом, для n переменных количество возможных комбинаций значений будет равно 2^n.

Однако, нам нужно найти только те функции, которые являются линейными.

Количество линейных функций от n переменных будет равно 2^(2^n).

Задание 5. Методом неопределенных коэффициентов найти полином Жегалкина для функции, заданной столбцом своих значений (0,1,1,0,1,0,0,1):

Полином Жегалкина представляет собой характеристическое выражение для функции с использованием комбинаций переменных и коэффициентов 0, 1.

Столбец значений: (0,1,1,0,1,0,0,1)

Метод неопределенных коэффициентов позволяет нам составить полином Жегалкина следующим образом:

Пусть x1, x2, x3 будут переменными функции.

Запишем все имеющиеся комбинации значений переменных и соответствующие им коэффициенты:

0x1x2x3
1x1x2x3
1x1¬x2x3
0x1¬x2x3
1¬x1¬x2x3
0¬x1¬x2x3
0¬x1x2x3
1¬x1x2x3

Теперь можем составить полином Жегалкина:

P(x1, x2, x3) = Лямбда + 1x1x2x3 + 1x1¬x2x3 + 1¬x1¬x2x3 + 1¬x1x2x3

где Лямбда - свободный член и представляет собой значение функции для пустого множества аргументов, равное 0 в данном случае.

Таким образом, полином Жегалкина будет: P(x1, x2, x3) = 1x1x2x3 + 1x1¬x2x3 + 1¬x1¬x2x3 + 1¬x1x2x3.