Задана функция y = −x^2 + 4x − 7. Найдите:

а) область определения данной функции;

б) область значений данной функции.

Добрый день! Я буду выступать в роли школьного учителя и помогу вам решить задачу.

а) Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. В данном случае функция задана в виде алгебраического выражения и не имеет ограничений. Это значит, что функция определена для всех возможных значений x. Поэтому область определения данной функции - это множество всех действительных чисел.


б) Для нахождения области значений функции, нужно определить, какие значения может принимать y. В данном случае, функция задана алгебраическим выражением y = -x^2 + 4x - 7, которое представляет собой параболу ветвями вниз. Чтобы найти область значений, нужно определить, какие значения может принимать вершина параболы.

Уравнение параболы можно привести к каноническому виду y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы. В данном случае коэффициент a равен -1, коэффициенты b и c равны 4 и -7 соответственно.
Используя формулу для нахождения координат вершины параболы: h = -b/2a и k = f(h), где f(x) - функция параболы, получаем:

h = -4/(2*(-1)) = -4/(-2) = 2;
k = -2^2 + 4*2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3;

Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, -3).

Область значений функции - это множество всех значений y, которые принимает функция. Так как парабола ветвями вниз и вершина находится выше графика параболы, то наименьшее значение y будет равно значению функции в вершине параболы. Наибольшее значение y не ограничено, так как парабола продолжается вниз бесконечно.

Таким образом, область значений данной функции - это множество всех действительных чисел больше или равных -3.

Я надеюсь, что ответ был понятен и информативен! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.