Задача 3. Докажите, что в любой компании из 57 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании (возможно, равное нулю). Задача 4. Клетки квадратной таблицы 20×20 раскрашены в пять цветов. Докажите,
что хотя бы для одного из пяти цветов найдутся три строки, в которых клеток этого цвета
поровну.
Задача 5. На занятия вечерней школы ходили 37 школьников. Ни на одно занятие не
пришли все 37, но известно, что каждый школьник встретился с каждым, причём ровно
на одном занятии.
а) Докажите, что найдётся школьник, который пришёл хотя бы на 7 занятий.
б) Докажите, что найдётся занятие, на которое пришло не более 7 школьников.
Задача 6. Какое наименьшее число клеток квадратной таблицы 2×2 необходимо
закрасить, чтобы при вычёркивании любых столбцов и любых строк оставалась хотя
бы одна закрашенная клетка, если а) = 2, б) = 3, в) > 2 — любое?
Задача 7. Докажите, что существует делящееся на 2021 число, в десятичной записи
которого участвуют только единицы.

РЕШИТЕ КАК МОЖНО СКОРЕЕ

29x =4/5dy

2×2=5

(2-2)=(5-5)

0+0=2×0

000000

Задача 3: Докажем данное утверждение методом принципа Дирихле. Предположим, что в компании из 57 человек каждый имеет разное число знакомых. У каждого может быть от 0 до 56 знакомых. Заметим, что если у кого-то из людей 0 знакомых, то у остальных 56 людей будет от 1 до 56 знакомых, что невозможно, так как в компании всего 57 человек. Аналогично, если у кого-то из людей 56 знакомых, то у остальных 56 людей будет от 0 до 55 знакомых, что также невозможно. Таким образом, в компании обязательно найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых.

Задача 4: Предположим противное, то есть для каждого из пяти цветов в таблице все строки содержат разное количество клеток этого цвета. Тогда общее количество клеток каждого цвета равно 20, так как в таблице 20 строк. Но в сумме мы получим 5 * 20 = 100 клеток, что противоречит тому, что в таблице всего 20 * 20 = 400 клеток. Таким образом, хотя бы для одного из цветов найдутся три строки, в которых клеток этого цвета поровну.

Задача 5а: Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. Предположим, что каждый школьник пришел не более чем на 6 занятий. Тогда общее количество занятий, на которые пришли школьники, не превышает 6 * 37 = 222. Но по условию каждый школьник присутствовал на 36 занятиях, что в сумме дает 36 * 37 = 1332 занятий. Получили противоречие, так как общее количество занятий не может быть как 222, так и 1332. Следовательно, найдется школьник, который пришел хотя бы на 7 занятий.

Задача 5б: Предположим противное, то есть на каждое занятие приходит не более 7 школьников. Тогда максимальное количество школьников на каждом занятии равно 7 * 6 = 42 (так как на каждом занятии школьник встречается с каждым другим школьником ровно один раз). Но это значит, что общее количество школьников, посещающих занятия, не превышает 42 * 36 = 1512. Но в условии говорится о 37 школьниках. Получаем противоречие, следовательно, найдется занятие, на которое пришло не более 7 школьников.

Задача 6а: Рассмотрим клетки таблицы 2х2. Чтобы не было ни одной закрашенной клетки после вычеркивания любых строк и столбцов, все клетки должны быть незакрашенными. Получаем, что в данном случае нужно закрасить все 4 клетки.

Задача 6б: Возьмем такую таблицу 3х3:
O X O
X O X
O X O
Строки и столбцы, содержащие одну закрашенную клетку, можно вычеркнуть, оставив 4 клетки, из которых нельзя больше вычеркнуть ни одного столбца или строки. Таким образом, в данном случае нужно закрасить 3 клетки.

Задача 6в: Если размер таблицы больше 2х2, то нам достаточно закрасить 2 клетки. Если размер таблицы равен 2х2, то нужно закрасить все 4 клетки.

Задача 7: Посмотрим на числа, состоящие только из единиц: 1, 11, 111, 1111, и т.д. Заметим, что 1 ≡ 2 (mod 2021), 11 ≡ 22 (mod 2021), 111 ≡ 222 (mod 2021), и т.д. Таким образом, существует делящееся на 2021 число, в десятичной записи которого участвуют только единицы.