Y=-x^3+3x+2 иследовать функцию и построить график y< 0

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
- x^3 + 3 x + 2 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x_{1} = -1
x_{2} = 2.

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^3 + 3*x + 2.
f(0) =- 0³ + 3*0 + 2 = 2.
Точка: (0, 2).

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
(d/d x) f{(x ) первая производная равна: - 3 x^2 + 3 = 0
Корни этого уравнения
x_{1} = -1
x_{2} = 1
Значит, экстремумы в точках:
(-1, 0)
(1, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума.
х =                       -2     -1      0      1       2
y'=- 3 x^2 + 3      -9       0      3      0      -9
Минимум в точке x = -1.
Максимум функции в точке: x = 1.
Возрастает на промежутке [-1, 1]
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [1, oo).

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
(d^2/d x^2)f(x) = 0 (вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
Вторая производная равна - 6 x = 0.
Корни этого уравнения
x_{1} = 0.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутке (-oo, 0].
Выпуклая на промежутке [0, oo).