(x+9)^2*(x+6)-5 найти наибольшее значение на промежутке [-10; -8]

Сначала раскроем скобки (чтобы не мучаться со взятием производной от произведений)

Получаем

(x+9)^2*(x+6)-5=(x^2+18x+81)(x+6)-5=x^3+24x^2+189x+481

Теперь возьмем производную от этой функции, получим:

f'(x)=3x^2+48x+189

Теперь найдем значение производной на границе нашего отрезка. Получаем:

f'(-10)=3*100-480+189=9

f'(-8)=3*64+48*(-8)+189=-3

Производная сменила знак, значит на это интервале она будет принимать значение 0 и в этой точке будет максимум функции, потому что если производная положительна, функция будет расти, если отрицательна, убывать. Значит функция будет расти от точки x до точки x1, где f'(x1)=0, а после нее будет убывать до точки где x=-8.

Найдем решения уравнения f'(x)=0, т.е

3x^2+48x+189=0

Обычно квадратное уравнение, найдем D

D=48^2-4*3*189= 2304-2268=36

Найдем решения уравнения: 

значит x1=-9, x2=-7, но т.к x2 не входит в отрезок [-10;-8], то нам подходит только одно решения x1=-9

ответ: Максимальное значение функции достигается в точке x=-9 и равно оно -5.

Примечание: Вообще можно заметить, что (x+9)^2 всегда положительное, а (x+6) будет всегда отрицательном на рассматриваемом промежутке. Значит чтобы функция достигла максимального значения необходимо просто сделать так, чтобы (x+9)^2*(x+6) было равно нулю. И здесь получаются 2 варианта:

1. х=-6 не подходит так как не пренадлежит отрезку [-10;-8]

2. x=-9, подходит.

Но этот метод будет не универсальным, а пригодным только для этого примера.