X^3-12x^2+45x-59. ( производная: 3x^2-24x+45.не понимаю откуда) что такое производная? какой корень подбором получается? .

Формула (так сказать) производной: f(x) = x^n;
f'(x) = n*x^(n-1).
То есть: Степень у икса (n) выносится на передней план со знаком умножения, но степень убавляется на единицу. ) Как-то так)
Поэтому, если подробно расписывать, то это выглядит так:
f(x)=x^3-12x^2+45x-59
f ' (x)= 3*x^(3-1=2) - (2*12)x^(2-1=1) + 1*45x^(1-1=0) - 0. Производная от числа a (от любого числа без икса) всегда равна нулю.