Вычислите значение 2lg lg(2a+3b)-2lg5/lga+lgb если 4a^2+9b^2=13ab

Для решения данного вопроса, мы сначала проверим, есть ли внутри логарифмов отрицательные значения. Если такие имеются, то такие значения недопустимы, потому что логарифм отрицательного числа не существует.

Начнем с проверки аргумента внутри логарифма 2a+3b и аргументов в знаменателе логарифма lga+lgb. По условию задачи, нам дано, что 4a^2 + 9b^2 = 13ab. Попробуем преобразовать это уравнение для получения значений a и b:

4a^2 + 9b^2 - 13ab = 0.

Теперь попробуем провести этот трехчлен в каноническую форму квадратного уравнения путем домножения обеих частей на 4:

16a^2 + 36b^2 - 52ab = 0.

Теперь проведем факторизацию левой части уравнения:

(4a - 9b)^2 = 0.

Это дает нам единственное решение 4a - 9b = 0 или a = 9b/4.

Теперь мы знаем, что аргументы внутри логарифмов должны быть положительными, так как логарифм отрицательного числа не существует. Значит, a и b должны быть положительными.

Давайте заметим, что аргумент внутри логарифма 2a+3b должен быть положительным:

2a+3b > 0.

Теперь подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:

2(9b/4) + 3b > 0.

Раскроем скобки:

18b/4 + 3b > 0.

Упростим:

9b/2 + 3b > 0.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

9b + 6b > 0.

15b > 0.

Из данного неравенства мы видим, что b должно быть больше нуля.

Теперь проверим, что аргументы внутри знаменателя логарифма lga+lgb должны быть положительными. Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:

lga + lgb = lg(9b/4) + lgb.

Теперь заметим, что оба аргумента должны быть положительными:

9b/4 > 0 и b > 0.

Теперь перейдем к решению самого выражения 2lg lg(2a+3b)-2lg5/lga+lgb.

1. Вычислим lg(2a+3b). Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:

lg(2(9b/4) + 3b) = lg(27b/2) = lg(27) + lg(b/2) = 1 + lg(b/2).

2. Вычислим lg(5). Это даст нам значение 1.

3. Теперь найдем значение lga+lgb. Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:

lga+lgb = lg(9b/4) + lgb = lg(9) + lg(b/4) + lgb = 2 + lg(b/4).

4. Теперь соберем все вместе в исходном выражении:

2lg lg(2a+3b)-2lg5/lga+lgb = 2lg(1 + lg(b/2)) - 2lg(1) / (2 + lg(b/4)).

5. Упростим это выражение:

= 2(1 + lg(b/2)) - 2lg(1) / (2 + lg(b/4)).

= 2 + 2lg(b/2) - 2 / (2 + lg(b/4)).

= 2 + 2lg(b) - 2lg(2) - 2 / (2 + lg(b) - lg(4)).

= 2 + 2lg(b) - 2 - 2 / (2 + lg(b) - 2).

= 2lg(b) / lg(b).

= 2.

Таким образом, значение данного выражения равно 2.