Вычислите производную: y=(x/4+6)^16 y=cos(5-3x) y=корень из 42+0,5х

Хорошо! Давай разберем каждый вопрос по порядку:

1. Производная функции y=(x/4+6)^16:
Для вычисления производной данной функции, нам необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Сначала давайте представим данную функцию как (g(f(x)))^n, где f(x) = x/4+6, g(u) = u^16. Теперь посчитаем производные этих функций отдельно:
- Производная f(x) можно найти, применив правило дифференцирования для суммы и произведения: f'(x) = (1/4)*(x)' + 6' = 1/4.
- Производная g(u) = u^16 будет равна (u)' * (u^(16-1)), так как для функции вида u^n мы используем правило степенных функций: g'(u) = 16 * u^(16-1).

Теперь, применяя правило дифференцирования сложной функции (chain rule), производная итоговой функции будет равна произведению производных f'(x) и g'(u), умноженных на производную f(x) по x:
y' = (g'(f(x)) * f'(x) = (16 * (x/4 + 6)^(16-1)) * (1/4) = 4 * (x/4 + 6)^(15)

Таким образом, производная функции y=(x/4+6)^16 равна 4 * (x/4 + 6)^(15).

2. Производная функции y=cos(5-3x):
Функция y=cos(5-3x) является композицией двух функций: f(x) = 5-3x и g(u) = cos(u). Производная функции g(u) = cos(u) равна g'(u) = -sin(u) по правилу дифференцирования тригонометрической функции.

Теперь применим правило дифференцирования сложной функции для нахождения производной функции y=cos(5-3x):
y' = g'(f(x)) * f'(x) = -sin(5-3x) * (-3) = 3sin(5-3x)

Таким образом, производная функции y=cos(5-3x) равна 3sin(5-3x).

3. Производная функции y=корень из (42+0,5x):
Функция y=корень из (42+0,5x) является композицией двух функций: f(x) = 42+0,5x и g(u) = корень из u. Для нахождения производной функции y=корень из (42+0,5x), применим правило дифференцирования сложной функции.

Вначале найдем производную g(u) = корень из u. По правилу дифференцирования функций вида u^n, производная функции g(u) будет равна g'(u) = (1/2)*(u^(-1/2)).

Теперь найдем производную функции f(x) = 42+0,5x. Производная данной функции будет равна f'(x) = 0,5.

Применим правило дифференцирования сложной функции:
y' = g'(f(x)) * f'(x) = (1/2)*((42+0,5x)^(-1/2)) * 0,5

Таким образом, производная функции y=корень из (42+0,5x) равна (1/2)*((42+0,5x)^(-1/2)) * 0,5.