Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 9 - х2 х = - 1, х = 2.

Хорошо, давайте решим эту задачу вместе.

Сначала нам нужно понять, что за фигура образуется при заданных условиях. Мы видим, что у нас заданы две функции: у = 9 - х^2 и х = -1, х = 2. Посмотрим на графики этих функций:

График первой функции у = 9 - х^2 представляет собой параболу, которая открывается вниз. Таким образом, эта функция создает площадь под параболой.

График второй функции х = -1 представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через x = -1.

График третьей функции х = 2 представляет собой еще одну вертикальную прямую, которая проходит через x = 2.

Итак, фигура, ограниченная этими линиями, будет выглядеть следующим образом:

1) Слева от вертикальной прямой x = -1 будет находиться часть параболы у = 9 - х^2.
2) Справа от вертикальной прямой x = 2 также будет находиться часть параболы у = 9 - х^2.
3) Между вертикальными прямыми x = -1 и x = 2 будет полоса, ограниченная верхней границей параболой у = 9 - х^2 и нижней границей x-осями.

Теперь, чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить ее на несколько частей и посчитать их площади по отдельности.

Способ 1:
Мы можем использовать метод интегрирования для нахождения площади под параболой у = 9 - х^2. Для этого мы вычислим определенный интеграл функции у = 9 - х^2 от -1 до 2:

∫ (9 - х^2) dx от -1 до 2

Затем мы вычисляем этот интеграл:

∫ (9 - х^2) dx от -1 до 2 = [9х - ((х^3)/3)] от -1 до 2

Подставляем пределы интегрирования:

[9(2) - ((2^3)/3)] - [9(-1) - ((-1^3)/3)]
= [18 - (8/3)] - [-9 + (1/3)]
= [18 - 8/3] + [9 - 1/3]
= 54/3 - 8/3 + 27 - 1/3
= (54 - 8 + 81 - 1)/3
= 126/3
= 42

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 9 - х^2, х = -1 и х = 2, равна 42 квадратным единицам.

Способ 2:
Альтернативный способ найти площадь этой фигуры - это разделить ее на несколько простых геометрических фигур и посчитать их площади по отдельности.

Поскольку мы имеем дело с параболой и вертикальными прямыми, можем разделить фигуру на два треугольника и прямоугольник.

1) Первый треугольник - это часть параболы слева от x = -1. У него будет основание 1 (разница между x-координатами -1 и 0) и высота 9 (значение функции у = 9 - (-1)^2 при x = -1). Таким образом, его площадь будет (1 * 9) / 2 = 4,5 квадратных единиц.

2) Второй треугольник - это часть параболы справа от x = 2. У него также будет основание 1 (разница между x-координатами 2 и 1) и высота 5 (значение функции у = 9 - 2^2 при x = 2). Таким образом, его площадь будет (1 * 5) / 2 = 2,5 квадратных единиц.

3) Прямоугольник между x = -1 и x = 2 будет иметь ширину 3 (разница между x-координатами 2 и -1) и высоту 2 (значение функции у = 9 - (-1)^2 при x = -1). Таким образом, его площадь будет 3 * 2 = 6 квадратных единиц.

Теперь мы можем сложить площади всех этих фигур, чтобы найти общую площадь фигуры:

Общая площадь = площадь первого треугольника + площадь второго треугольника + площадь прямоугольника
= 4,5 + 2,5 + 6
= 13 квадратных единиц.

Таким образом, оба способа дают одинаковый ответ - площадь фигуры, ограниченной линиями у = 9 - х^2, х = -1 и х = 2, равна 13 квадратных единиц.