Хорошо, я рад принять роль школьного учителя и объяснить, как решить данный определенный интеграл.
Для начала, давайте вспомним, что такое определенный интеграл. Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой функции на заданном интервале. В данном случае, мы должны найти площадь под кривой sin^2(3x) на интервале от π/6 до 0.
1. Первым шагом заменим sin^2(3x) на более простое выражение. Мы знаем, что sin^2(θ) = (1 - cos(2θ))/2. Таким образом, мы можем преобразовать заданный интеграл:
∫(π/6 до 0) sin^2(3x) dx = ∫(π/6 до 0) (1 - cos(6x))/2 dx.
2. Теперь, нам нужно посчитать этот интеграл. Для этого разобьем его на два измерения.
∫(π/6 до 0) (1 - cos(6x))/2 dx = (1/2) ∫(π/6 до 0) dx - (1/2) ∫(π/6 до 0) cos(6x) dx.
3. Посчитаем первое измерение.
(1/2) ∫(π/6 до 0) dx = (1/2) [x] от π/6 до 0 = (1/2) (0 - π/6) = -π/12.
4. Теперь рассмотрим второе измерение, где нам потребуется использование тригонометрической подстановки.
Пусть u = 6x, тогда du = 6dx, и dx = du/6. Также, когда x = π/6, u равно π, а когда x = 0, u равно 0.
Теперь мы можем переписать второе измерение в терминах переменной u:
(1/2) ∫(π/6 до 0) cos(6x) dx = (1/2) ∫(π до 0) cos(u) (du/6) = (1/12) ∫(π до 0) cos(u) du.
5. Мы можем решить эти интегралы путем применения интегрирования по частям или других методов. Однако, интеграл от cos(u) на интервале от π до 0 равен -sin(u), а -sin(u) при подстановке границ равно -(-sin(π) - (-sin(0))).
Теперь мы можем подставить значения обратно в основное выражение:
(1/12) ∫(π до 0) cos(u) du = (1/12) [-sin(u)] от π до 0 = (1/12) [sin(0) - sin(π)].
Так как sin(0) = 0 и sin(π) = 0, то второе измерение также равно 0.
6. Теперь, чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты первого и второго измерения:
-π/12 + 0 = -π/12.
Итак, определенный интеграл от sin^2(3x) на интервале от π/6 до 0 равен -π/12.
Я надеюсь, что данное решение было достаточно подробным и понятным для вас, и вы теперь лучше понимаете, как решать подобные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Для начала, давайте вспомним, что такое определенный интеграл. Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой функции на заданном интервале. В данном случае, мы должны найти площадь под кривой sin^2(3x) на интервале от π/6 до 0.
1. Первым шагом заменим sin^2(3x) на более простое выражение. Мы знаем, что sin^2(θ) = (1 - cos(2θ))/2. Таким образом, мы можем преобразовать заданный интеграл:
∫(π/6 до 0) sin^2(3x) dx = ∫(π/6 до 0) (1 - cos(6x))/2 dx.
2. Теперь, нам нужно посчитать этот интеграл. Для этого разобьем его на два измерения.
∫(π/6 до 0) (1 - cos(6x))/2 dx = (1/2) ∫(π/6 до 0) dx - (1/2) ∫(π/6 до 0) cos(6x) dx.
3. Посчитаем первое измерение.
(1/2) ∫(π/6 до 0) dx = (1/2) [x] от π/6 до 0 = (1/2) (0 - π/6) = -π/12.
4. Теперь рассмотрим второе измерение, где нам потребуется использование тригонометрической подстановки.
Пусть u = 6x, тогда du = 6dx, и dx = du/6. Также, когда x = π/6, u равно π, а когда x = 0, u равно 0.
Теперь мы можем переписать второе измерение в терминах переменной u:
(1/2) ∫(π/6 до 0) cos(6x) dx = (1/2) ∫(π до 0) cos(u) (du/6) = (1/12) ∫(π до 0) cos(u) du.
5. Мы можем решить эти интегралы путем применения интегрирования по частям или других методов. Однако, интеграл от cos(u) на интервале от π до 0 равен -sin(u), а -sin(u) при подстановке границ равно -(-sin(π) - (-sin(0))).
Теперь мы можем подставить значения обратно в основное выражение:
(1/12) ∫(π до 0) cos(u) du = (1/12) [-sin(u)] от π до 0 = (1/12) [sin(0) - sin(π)].
Так как sin(0) = 0 и sin(π) = 0, то второе измерение также равно 0.
6. Теперь, чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты первого и второго измерения:
-π/12 + 0 = -π/12.
Итак, определенный интеграл от sin^2(3x) на интервале от π/6 до 0 равен -π/12.
Я надеюсь, что данное решение было достаточно подробным и понятным для вас, и вы теперь лучше понимаете, как решать подобные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.