Вычислите определенный интеграл: s от п/6 до 0 sin^2*3x*dx подробное решение

aljoona99 aljoona99    3   15.04.2019 21:34    55

Ответы
chelbaeva77 chelbaeva77  18.01.2024 17:29
Хорошо, я рад принять роль школьного учителя и объяснить, как решить данный определенный интеграл.

Для начала, давайте вспомним, что такое определенный интеграл. Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой функции на заданном интервале. В данном случае, мы должны найти площадь под кривой sin^2(3x) на интервале от π/6 до 0.

1. Первым шагом заменим sin^2(3x) на более простое выражение. Мы знаем, что sin^2(θ) = (1 - cos(2θ))/2. Таким образом, мы можем преобразовать заданный интеграл:

∫(π/6 до 0) sin^2(3x) dx = ∫(π/6 до 0) (1 - cos(6x))/2 dx.

2. Теперь, нам нужно посчитать этот интеграл. Для этого разобьем его на два измерения.

∫(π/6 до 0) (1 - cos(6x))/2 dx = (1/2) ∫(π/6 до 0) dx - (1/2) ∫(π/6 до 0) cos(6x) dx.

3. Посчитаем первое измерение.

(1/2) ∫(π/6 до 0) dx = (1/2) [x] от π/6 до 0 = (1/2) (0 - π/6) = -π/12.

4. Теперь рассмотрим второе измерение, где нам потребуется использование тригонометрической подстановки.

Пусть u = 6x, тогда du = 6dx, и dx = du/6. Также, когда x = π/6, u равно π, а когда x = 0, u равно 0.

Теперь мы можем переписать второе измерение в терминах переменной u:

(1/2) ∫(π/6 до 0) cos(6x) dx = (1/2) ∫(π до 0) cos(u) (du/6) = (1/12) ∫(π до 0) cos(u) du.

5. Мы можем решить эти интегралы путем применения интегрирования по частям или других методов. Однако, интеграл от cos(u) на интервале от π до 0 равен -sin(u), а -sin(u) при подстановке границ равно -(-sin(π) - (-sin(0))).

Теперь мы можем подставить значения обратно в основное выражение:

(1/12) ∫(π до 0) cos(u) du = (1/12) [-sin(u)] от π до 0 = (1/12) [sin(0) - sin(π)].

Так как sin(0) = 0 и sin(π) = 0, то второе измерение также равно 0.

6. Теперь, чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты первого и второго измерения:

-π/12 + 0 = -π/12.

Итак, определенный интеграл от sin^2(3x) на интервале от π/6 до 0 равен -π/12.

Я надеюсь, что данное решение было достаточно подробным и понятным для вас, и вы теперь лучше понимаете, как решать подобные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра