Вычислите: cos(1/2arcsin 4/5)

0,3

Объяснение:

ответ:0,3
Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о тригонометрии и обратных тригонометрических функциях.

Первым шагом будет нахождение arcsin(4/5). Обратная синус-функция (arcsin) определяет угол, значение синуса которого равно заданной дроби. В данном случае, мы ищем угол, синус которого равен 4/5.

Чтобы найти этот угол, нам понадобится тригонометрический треугольник, где противоположный катет равен 4, а гипотенуза равна 5. Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления третьей стороны, которая является прилежащим катетом:

a^2 + b^2 = c^2
4^2 + b^2 = 5^2
16 + b^2 = 25
b^2 = 25 - 16
b^2 = 9
b = 3

Таким образом, прилежащий катет равен 3. Теперь мы можем использовать определение синуса:

sin(theta) = противоположный катет / гипотенуза
sin(theta) = 4/5

Отсюда мы можем найти значение угла theta:

theta = arcsin(4/5) ≈ 0.9273 радиан

Второй шаг состоит в вычислении cos(1/2arcsin(4/5)). Прежде чем мы это сделаем, нам нужно определить двойной угол для этой функции, используя тригонометрическую формулу:

cos(2theta) = 1 - 2sin^2(theta)

Теперь мы можем использовать эту формулу, чтобы найти значение cos(2theta). Записываем значение нашего угла theta и заменяем его в формуле:

cos(2 * 0.9273) = 1 - 2sin^2(0.9273)
= 1 - 2 * (4/5)^2
= 1 - 2 * (16/25)
= 1 - 32/25
= 25/25 - 32/25
= (25 - 32)/25
= -7/25

Таким образом, мы нашли значение cos(2theta), которое равно -7/25.

Но нам необходимо вычислить cos(1/2arcsin(4/5)), а не cos(2theta).

Существует тригонометрическая формула для cos(2theta), которую мы можем использовать, чтобы найти значение cos(1/2arcsin(4/5)).

cos(2theta) = 2cos^2(theta) - 1

Мы можем переписать эту формулу и выразить cos(theta):

cos^2(theta) = (cos(2theta) + 1) / 2

Затем, зная значение cos(2theta) = -7/25 и подставив его в формулу:

cos^2(theta) = ((-7/25) + 1) / 2
= (-7/25 + 25/25) / 2
= (18/25) / 2
= 18/50
= 9/25

Теперь мы можем найти значение cos(theta) путем извлечения квадратного корня:

cos(theta) = √(9/25)
= 3/5

Таким образом, мы нашли значение cos(theta), которое равно 3/5. Возвращаясь к исходному вопросу, чтобы найти значение cos(1/2arcsin(4/5)), мы должны поделить это значение пополам:

cos(1/2arcsin(4/5)) = cos(theta/2)
= cos(0.9273/2)
= cos(0.4636)
≈ 0.8988

Таким образом, окончательный ответ равен примерно 0.8988.