Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений: а) (2a–3b)(a+2b), б) |(2a–3b)×(a+2b)|,где |a|=5, |b|=2, a^b=3π/4.

А) Просто, надо раскрыть скобки, как в алгебре.
(2a - 3b)(a + 2b) = 2a^2 - 3ab + 4ab - 6b^2 = 2a^2 + ab - 6b^2
б) Длина векторного произведения
|(2a - 3b)x(a + 2b)| = |2a - 3b| * |a + 2b| * sin ((2a-3b); (a+2b))
|a| = 5; |b| = 2; (a; b) = 3pi/4; sin(a;b) = √2/2; cos(a;b) = -√2/2
|2a-3b| = √[(2a)^2+(3b)^2-2a*3b*cos(a;b)] = √(100+36+10*6*√2/2) ~ 13,36
|a+2b| = √[a^2+(2b)^2-a*2b*cos(pi-(a;b))] = √(25+16-5*4*√2/2) ~ 5,18
|(2a - 3b)x(a + 2b)| = |2a - 3b| * |a + 2b| * sin((2a-3b); (a+2b)) =
= 13,36*5,18*√2/2 ~ 48,935

Давайте начнем с вычисления выражения а) (2a–3b)(a+2b).

1. Вначале раскроем скобки в данном выражении. При умножении многочленов нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. В данном случае имеем:

(2a–3b)(a+2b) = 2a*a + 2a*2b - 3b*a - 3b*2b

2. Упростим каждое умножение:

2a*a = 2a^2
2a*2b = 4ab
-3b*a = -3ab
-3b*2b = -6b^2

Теперь соберем все члены вместе:

2a^2 + 4ab - 3ab - 6b^2 = 2a^2 + ab - 6b^2

Таким образом, исходное выражение (2a–3b)(a+2b) равно 2a^2 + ab - 6b^2.

Теперь перейдем к вычислению выражения б) |(2a–3b)×(a+2b)|.

1. Начнем с вычисления векторного произведения (2a–3b)×(a+2b). Для этого используем формулу для векторного произведения:

(2a–3b)×(a+2b) = |(2a–3b)| * |(a+2b)| * sin(θ) * n

где |(2a–3b)| и |(a+2b)| - модули векторов, sin(θ) - синус угла между векторами, n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости образованной векторами.

2. Вычислим модули векторов |(2a–3b)| и |(a+2b)|:

|(2a–3b)| = sqrt((2a–3b)^2) = sqrt((2a)^2 - 2*(2a)*(3b) + (3b)^2)
= sqrt(4a^2 - 12ab + 9b^2)
= sqrt((2a^2 – 6ab + 4ab + 9b^2)
= sqrt((2a^2 – 2ab) + (4ab + 9b^2))
= sqrt(2a(a – b) + b(4a + 9b))

|(a+2b)| = sqrt((a+2b)^2) = sqrt((a)^2 + 2*(a)*(2b) + (2b)^2)
= sqrt(a^2 + 4ab + 4b^2)
= sqrt(a^2 + 2ab + 2ab + 4b^2)
= sqrt((a^2 + 2ab) + (2ab + 4b^2))
= sqrt(a(a + 2b) + 2b(a + 2b))

3. Далее, найдем синус угла между векторами. Для этого используем формулу скалярного произведения и определение синуса угла между векторами:

sin(θ) = |(2a–3b) × (a+2b)| / (|(2a–3b)| * |(a+2b)|)
= |(2a–3b) × (a+2b)| / (sqrt(2a(a – b) + b(4a + 9b))) * sqrt(a(a + 2b) + 2b(a + 2b)))

4. Наконец, нужно найти |(2a–3b) × (a+2b)|. Для этого мы можем использовать модуль векторного произведения:

|(2a–3b) × (a+2b)| = sqrt(((2a–3b) × (a+2b))^2)
= sqrt(((2a–3b)^2) * ((a+2b)^2) * (1 - cos^2(θ)))

где cos(θ) - косинус угла между векторами.

5. Теперь мы можем найти значение |(2a–3b) × (a+2b)|:

|(2a–3b) × (a+2b)| = sqrt(((2a)^2 - 2*(2a)*(3b) + (3b)^2) * ((a)^2 + 2*(a)*(2b) + (2b)^2) * (1 - cos^2(θ)))

6. После того, как найдем значение |(2a–3b) × (a+2b)|, мы получим ответ на вопрос б).

Таким образом, для вычисления выражений а) (2a–3b)(a+2b) и б) |(2a–3b)×(a+2b)| мы использовали определения и свойства скалярного и векторного произведений.