Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:y=x^2-x+1 и y=-x^2\2+3x+6

Добрый день, ребята! Сегодня мы решим задачу по геометрии и найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами. Начнем!

Для начала, давайте построим графики этих парабол, чтобы наглядно представить себе фигуру, которую мы будем искать площадь.

Первая парабола: y = x^2 - x + 1.
Для построения этого графика, мы можем выбрать несколько значений для x и найти соответствующие значения y.
Например, пусть мы возьмем x = -2, -1, 0, 1, 2.
Подставляя эти значения в уравнение параболы, мы получим следующие значения y:

x = -2: y = (-2)^2 - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
x = -1: y = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
x = 0: y = (0)^2 - (0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
x = 1: y = (1)^2 - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
x = 2: y = (2)^2 - (2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3

Теперь, когда у нас есть несколько точек, мы можем нарисовать график первой параболы на координатной плоскости. Давайте это сделаем.

(рисуем график первой параболы)

Теперь перейдем ко второй параболе: y = -x^2 + 3x + 6.
Аналогично первой параболе, мы выберем несколько значений для x и будем находить соответствующие значения y.
Пусть мы возьмем те же самые значения x, что и для первой параболы.
Подставляя эти значения в уравнение второй параболы, мы получим:

x = -2: y = -(-2)^2 + 3(-2) + 6 = -4 - 6 + 6 = -4
x = -1: y = -(-1)^2 + 3(-1) + 6 = -1 - 3 + 6 = 2
x = 0: y = -(0)^2 + 3(0) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6
x = 1: y = -(1)^2 + 3(1) + 6 = -1 + 3 + 6 = 8
x = 2: y = -(2)^2 + 3(2) + 6 = -4 + 6 + 6 = 8

Теперь у нас есть точки для второй параболы. Давайте нарисуем график второй параболы на той же координатной плоскости.

(рисуем график второй параболы)

Отлично! Теперь взглянем на графики обеих парабол. Мы видим, что они пересекаются в двух точках.

(показываем точки пересечения)

Таким образом, фигура, ограниченная этими параболами, будет лежать между ними, замкнутая между точками пересечения нашей плоскости.

Теперь давайте найдем площадь этой фигуры. Для этого мы должны вычислить разность между площадью фигуры, ограниченной первой параболой, и площадью фигуры, ограниченной второй параболой.

Для начала, мы можем найти точки пересечения парабол.
Находим x-координаты точек пересечения:

x^2 - x + 1 = -x^2 + 3x + 6

2x^2 - 4x - 5 = 0

x = (4 ± √(4^2 - 4 * 2 * -5)) / (2 * 2)

x = (4 ± √(16 + 40)) / 4

x = (4 ± √56) / 4

x = (4 ± 2√14) / 4

x = 1 ± (1/2)√14

То есть, у нас есть две x-координаты точек пересечения: x = 1 + (1/2)√14 и x = 1 - (1/2)√14.

Теперь мы можем вычислить площадь первой фигуры. Для этого нам нужно найти интеграл параболы выше оси x на интервале между точками пересечения.

Интеграл от x^2 - x + 1 на интервале от x = 1 - (1/2)√14 до x = 1 + (1/2)√14.

Посчитаем этот интеграл:

∫(x^2 - x + 1)dx = ∫x^2dx - ∫xdx + ∫1dx

= (1/3)x^3 - (1/2)x^2 + x

Вычислим этот интеграл на интервале от x = 1 - (1/2)√14 до x = 1 + (1/2)√14:

S1 = (1/3)(1 + (1/2)√14)^3 - (1/2)(1 + (1/2)√14)^2 + (1 + (1/2)√14) - [(1/3)(1 - (1/2)√14)^3 - (1/2)(1 - (1/2)√14)^2 + (1 - (1/2)√14)]

= (1/3)(1 + (1/2)√14)^3 - (1/2)(1 + (1/2)√14)^2 + (1 + (1/2)√14) - (1/3)(1 - (1/2)√14)^3 + (1/2)(1 - (1/2)√14)^2 + (1 - (1/2)√14)

= 2√14 + 4

Теперь мы знаем, что площадь первой фигуры равна 2√14 + 4.

Теперь давайте найдем площадь второй фигуры. Для этого мы также должны вычислить интеграл параболы выше оси x на интервале между точками пересечения.

Интеграл от -x^2 + 3x + 6 на интервале от x = 1 - (1/2)√14 до x = 1 + (1/2)√14.

Вычислим этот интеграл:

∫(-x^2 + 3x + 6)dx = -(1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 6x

Вычислим этот интеграл на интервале от x = 1 - (1/2)√14 до x = 1 + (1/2)√14:

S2 = -(1/3)(1 + (1/2)√14)^3 + (3/2)(1 + (1/2)√14)^2 + 6(1 + (1/2)√14) - [-(1/3)(1 - (1/2)√14)^3 + (3/2)(1 - (1/2)√14)^2 + 6(1 - (1/2)√14)]

= -(1/3)(1 + (1/2)√14)^3 + (3/2)(1 + (1/2)√14)^2 + 6(1 + (1/2)√14) - (1/3)(1 - (1/2)√14)^3 + (3/2)(1 - (1/2)√14)^2 + 6(1 - (1/2)√14)

= √14 - 4

Теперь мы знаем, что площадь второй фигуры равна √14 - 4.

И, наконец, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими параболами, мы вычитаем площадь второй фигуры из площади первой фигуры:

S = S1 - S2 = (2√14 + 4) - (√14 - 4) = √14 + 8.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной параболами y = x^2 - x + 1 и y = -x^2 + 3x + 6, равна √14 + 8.

Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Желаю удачи в учебе!