Алгебра: Вычислить интеграл: ∫dx/[cosx*(1 - cosx)]

Я для экономии времени нигде не пишу +константа , но оно там везде есть.Первый интеграл почти табличный:Второй интеграл тоже несложный:ответ - сумма того, что получилось....

Вычислить интеграл: ∫dx/[cosx*(1 - cosx)]

Ответы

sasha22114 05.10.2020 23:43

Я для экономии времени нигде не пишу "+константа", но оно там везде есть.

$\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x(1-\cos x)}=\int dx\,\left(\frac1{1-\cos x}+\frac1{\cos x}\right)=\\=\int \frac{dx}{2\sin^2(x/2)}+\int\frac{dx}{\cos x}$

Первый интеграл почти табличный:
$\displaystyle\int\frac{dx}{2\sin^2(x/2)}=\int\frac{d(x/2)}{\sin^2(x/2)}=-\mathop{\mathrm{ctg}}\frac x2$

Второй интеграл тоже несложный:
$\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos x\,dx}{\cos^2x}=\int\frac{d\sin x}{1-\sin^2x}=\frac12\int\frac{d\sin x}{1+\sin x}+\frac12\int\frac{d\sin x}{1-\sin x}\\=\frac12\ln(1+\sin x)-\frac12\ln(1-\sin x)=\frac12\ln\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$

ответ - сумма того, что получилось.
$\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x(1-\cos x)}=-\mathop{\mathrm{ctg}}\frac x2+\frac12\ln\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$