Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку,сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая.

В 4-угольнике АВСD точка пересечения диагоналей Е является искомой. Действительно, для любой другой точки E' по неравенству треугольника AE'C получаем AE'+E'C≥AE+EC и для треугольника BE'D получаем BE'+E'D≥BE+ED,  причем как минимум одно из этих неравенств строгое (иначе E'=E). Отсюда AE'+E'C+BE'+E'D >AE+EC+BE+ED, что и означает, что сумма расстояний от вершин ABCD до точки Е меньше, чем до любой другой точки Е'.