Вершины треугольника АВС имеют координаты А(1;2;-3), В(3;4;-4), С(3;6;1). Найти параметрические уравнения высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины А.

Для начала, вспомним определения высоты, медианы и биссектрисы треугольника:

1. Высота - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне и перпендикулярный этой стороне.

2. Медиана - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

3. Биссектриса - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к серединному перпендикуляру противоположной стороны.

Теперь давайте найдем каждую из этих линий:

1. Высота:
Для начала, найдем векторы из вершины А к вершинам В и С:
Вектор VA = (3 - 1, 4 - 2, -4 - (-3)) = (2, 2, -1)
Вектор CA = (3 - 1, 6 - 2, 1 - (-3)) = (2, 4, 4)

Далее, найдем векторное произведение векторов VA и CA:
Векторное произведение VA и CA = (2, 2, -1) × (2, 4, 4)

Для вычисления векторного произведения, мы используем формулу:
(x1, y1, z1) × (x2, y2, z2) = (y1*z2 - y2*z1, z1*x2 - z2*x1, x1*y2 - x2*y1)

Применяя эту формулу, получаем:
(2, 2, -1) × (2, 4, 4) = (8 - 8, -4 - 2, 4 - 4) = (0, -6, 0)

Теперь нам нужно записать уравнение прямой, на которой лежит требуемая высота.
Мы знаем точку A(1; 2; -3) и вектор направления высоты (0, -6, 0).

Уравнение прямой в параметрической форме выглядит следующим образом:

x = x0 + at,
y = y0 + bt,
z = z0 + ct,

где (x0, y0, z0) - известная точка прямой, (a, b, c) - координаты вектора направления прямой, t - параметр.

В результате подстановки известных данных получаем:

x = 1 + 0t = 1
y = 2 - 6t
z = -3 + 0t = -3

Значит, параметрические уравнения высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А, имеют вид:
x = 1
y = 2 - 6t
z = -3

2. Медиана:
Для начала найдем координаты середины отрезка ВС.
Середина отрезка ВС равна ((3+3)/2, (4+6)/2, (-4+1)/2) = (3, 5, -1.5)

Теперь построим вектор медианы - это вектор из вершины А к середине отрезка ВС:
Вектор VA = (3 - 1, 5 - 2, -1.5 - (-3)) = (2, 3, 1.5)

Теперь записываем параметрическое уравнение прямой, на которой лежит требуемая медиана:
x = x0 + at,
y = y0 + bt,
z = z0 + ct,

где (x0, y0, z0) - известная точка прямой (вершина А), (a, b, c) - координаты вектора направления прямой, t - параметр.

В результате подстановки известных данных получаем:

x = 1 + 2t
y = 2 + 3t
z = -3 + 1.5t

Значит, параметрические уравнения медианы треугольника АВС, проведенной из вершины А, имеют вид:
x = 1 + 2t
y = 2 + 3t
z = -3 + 1.5t

3. Биссектриса:
Для начала найдем длины сторон треугольника АВС:
AB = √((3-1)^2 + (4-2)^2 + (-4 - (-3))^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
AC = √((3-1)^2 + (6-2)^2 + (1 - (-3))^2) = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6
BC = √((3-3)^2 + (6-4)^2 + (1 - (-4))^2) = √(0 + 4 + 25) = √29

Теперь найдем угол между сторонами AB и AC, используя теорему косинусов:
cos(∠BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) = (3^2 + 6^2 - √29^2) / (2 * 3 * 6) = (9 + 36 - 29) / 36 = 16 / 36 = 4 / 9

Теперь найдем точку пересечения биссектрисы и стороны ВС. Для этого воспользуемся отношением длин сторон и формулой:
BV = AB * (AC / (AB + AC)) = 3 * (6 / (3 + 6)) = 2
CV = AC * (AB / (AB + AC)) = 6 * (3 / (3 + 6)) = 4

Теперь построим вектор биссектрисы BV.
BV = CV - BA = (3 - 1, 4 - 2, -4 - (-3)) = (1, 2, -1)

Теперь записываем параметрическое уравнение прямой, на которой лежит требуемая биссектриса:
x = x0 + at,
y = y0 + bt,
z = z0 + ct,

где (x0, y0, z0) - известная точка прямой (вершина А), (a, b, c) - координаты вектора направления прямой, t - параметр.

В результате подстановки известных данных получаем:

x = 1 + t
y = 2 + 2t
z = -3 - t

Значит, параметрические уравнения биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А, имеют вид:
x = 1 + t
y = 2 + 2t
z = -3 - t

Это подробное решение должно помочь школьнику понять вычисления и основные идеи, лежащие в основе найденных параметрических уравнений высоты, медианы и биссектрисы.