Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний постоянна и равна 0,5. Найти вероятность того, что событие появится: а) ровно 210 раз; б) не менее 160 раз и не более 215 раз.

Добрый день! Давайте рассмотрим поставленную задачу поэтапно.

а) Чтобы найти вероятность того, что событие произойдет ровно 210 раз в 400 независимых испытаниях, мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для этого распределения выглядит следующим образом:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где P(X=k) - вероятность того, что событие происходит ровно "k" раз,
С(n, k) - количество сочетаний из "n" по "k" (это обозначение для биномиальных коэффициентов),
p - вероятность появления события в каждом испытании,
q - вероятность того, что событие не произойдет (1-p),
n - общее количество испытаний.

В данной задаче p = 0.5, так как вероятность появления события в каждом испытании равна 0.5. Также n = 400, так как у нас 400 независимых испытаний.

Поэтому для решения задачи нам нужно вычислить вероятность P(X=210) с использованием формулы биномиального распределения:

P(X=210) = C(400, 210) * (0.5)^210 * (0.5)^(400-210).

Давайте выполним вычисления:

C(400, 210) = (400!)/(210!*(400-210)!) = 169,852,790,
(0.5)^210 ≈ 9.53674 * 10^(-64),
(0.5)^(400-210) ≈ 7.53982 * 10^(-54).

Подставим все значения в формулу:

P(X=210) = 169,852,790 * (9.53674 * 10^(-64)) * (7.53982 * 10^(-54)).

Теперь давайте упростим выражение:

P(X=210) ≈ 169,852,790 * (9.53674 * 7.53982) * (10^(-64-54)) ≈ 1.28292 * 10^(-7).

Таким образом, вероятность того, что событие произойдет ровно 210 раз в 400 независимых испытаниях, примерно равна 1.28292 * 10^(-7).

б) Чтобы найти вероятность того, что событие произойдет не менее 160 раз и не более 215 раз в 400 независимых испытаниях, нам необходимо суммировать вероятности от 160 до 215, включительно.

P(160 ≤ X ≤ 215) = P(X=160) + P(X=161) + ... + P(X=215).

Мы можем использовать формулу биномиального распределения, как в предыдущем случае, для каждого значения от 160 до 215, чтобы вычислить вероятность P(X=k), а затем сложить все эти вероятности. Однако, процесс будет довольно трудоемким.

Более простым способом решить эту часть задачи является использование нормального приближения биномиального распределения. При достаточно большом количестве испытаний (когда n достаточно велико), биномиальное распределение можно приблизить нормальным распределением.

Мы можем использовать правило трех сигм для оценки вероятности, что число событий будет находиться в определенном диапазоне. Правило трех сигм указывает, что в нормальном распределении около 99.7% всех значений находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Для нашей задачи, среднее значение μ в нормальном приближении будет равно n*p = 400*0.5 = 200, а стандартное отклонение σ будет равно sqrt(n*p*q) = sqrt(400*0.5*0.5) = 10.

Теперь мы можем использовать нормальное распределение для оценки вероятности P(160 ≤ X ≤ 215), используя правило трех сигм.

P(160 ≤ X ≤ 215) ≈ P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ).
P(160 ≤ X ≤ 215) ≈ P(200-3*10 ≤ X ≤ 200+3*10).
P(160 ≤ X ≤ 215) ≈ P(170 ≤ X ≤ 230).

Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор для расчета вероятности P(X=k) для каждого k от 170 до 230 и сложить их.

Например, P(X=170) ≈ 0.0026, P(X=171) ≈ 0.0034 и т.д.

Затем мы сложим все эти вероятности для получения вероятности P(160 ≤ X ≤ 215).

Опять же, этот способ является более простым и менее трудоемким, чем вычисление вероятностей для каждого значения от 160 до 215 с помощью формулы биномиального распределения.

Надеюсь, мое объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.