Верно ли, что функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастает на всей числовой прямой

ответ: х1=3-√10;х2=3+√10;

Да, верно, что функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастает на всей числовой прямой.

Для того чтобы доказать возрастание функции на всей числовой прямой, нам необходимо использовать производную функции и ее знак.

Для начала найдем производную функции f'(x). Производная функции показывает нам скорость изменения функции в каждой точке. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то функция убывает, а если равна нулю, то это может быть экстремум функции.

Итак, возьмем производную функции f(x):
f'(x) = 6x² - 6x + 6.

Теперь найдем корни производной функции, т.е. значения x, при которых f'(x) = 0.
6x² - 6x + 6 = 0
Для решения этого квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b² - 4ac.

a = 6, b = -6, c = 6.
D = (-6)² - 4 * 6 * 6 = 36 - 144 = -108.

Так как дискриминант отрицательный, то корни уравнения мнимые и равны:
x = (-(-6) ± √(-108)) / (2 * 6).
x = (6 ± i * √108) / 12.
x = (6 ± 3i * √3) / 12.
x₁ = (6 + 3i * √3) / 12 = 0.5 + 0.25i * √3, x₂ = (6 - 3i * √3) / 12 = 0.5 - 0.25i * √3.

Т.е. соответствующие корни производной функции являются комплексными числами и не влияют на возрастание самой функции f(x).

Теперь рассмотрим знак производной на различных интервалах числовой оси.

1. Когда x < 0:
f'(x) = 6x² - 6x + 6.
Так как все коэффициенты при степенях x положительны, то производная будет положительной на этом интервале. Т.е. f'(x) > 0, следовательно, функция f(x) возрастает на интервале x < 0.

2. Когда 0 < x < 1:
f'(x) = 6x² - 6x + 6.
В этом интервале мы можем заметить, что производная является параболой с отрицательным ведущим коэффициентом. Таким образом, производная будет неположительна на этом интервале: f'(x) ≤ 0. Однако, ноль производной на этом интервале соответствует точке экстремума функции (минимуму), а не точке перегиба. Из этого следует, что всего на этом интервале функция будет возрастать, так как у нее есть только одна точка минимума.

3. Когда x > 1:
f'(x) = 6x² - 6x + 6.
Так как все коэффициенты при степенях x положительны, то производная будет положительной на этом интервале. Т.е. f'(x) > 0, следовательно, функция f(x) возрастает на интервале x > 1.

Исходя из анализа знаков производной на интервалах, мы видим, что производная функции всюду положительна или равна нулю, что означает, что функция f(x) возрастает на всей числовой прямой.