Важная контрольная! найти значение производной функции y=корень x^2-1+корень x в точке x0=1

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с решением данного вопроса.

Для начала, нам нужно найти производную функции y = √(x^2 - 1) + √x в точке x₀ = 1.

Шаг 1: Найдем производную первого слагаемого √(x^2 - 1):
Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции, содержащей корень: производная √u равна u'/(2√u), где u - функция от x.

Таким образом, находим производную первого слагаемого:
1) y₁ = √(x^2 - 1)
У нас u = x^2 - 1.
Производная u равна u' = (x^2 - 1)' = 2x.

Тогда:

y₁' = (u'/(2√u)) = (2x)/(2√(x^2 - 1))
= x/√(x^2 - 1)

Шаг 2: Теперь найдем производную второго слагаемого √x:
Так как √x = x^(1/2), то рассчитаем производную следующим образом:

2) y₂ = √x
Производная y₂ равна y₂' = (x^(1/2))'.

Чтобы найти производную x^(1/2), воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции: (x^n)' = nx^(n-1).

Тогда y₂' = (x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2).

Шаг 3: Найдем общую производную функции y:
Так как y = y₁ + y₂, то производная функции y будет равна сумме производных ее слагаемых.

y' = y₁' + y₂'
= x/√(x^2 - 1) + (1/2)x^(-1/2)

Шаг 4: Подставляем значение x₀ = 1 в найденную производную:
y'(x₀=1) = (1)/√(1^2 - 1) + (1/2)(1)^(-1/2)
= 1/√0 + (1/2)(1)
= 1/0 + 1/2

Здесь появляется проблема, так как √0 не имеет реального значения.
Это следует из общего свойства функции корня, где корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел.

Следовательно, значение производной функции в точке x₀ = 1 не определено.

Итак, мы не можем найти значение производной функции y = √(x^2 - 1) + √x в точке x₀ = 1, так как оно не существует из-за неопределенности √0.

Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!