Вариант 2
1. Преобразуйте выражение в многочлен:
а) (х – 5а)(5а + х);
г) (х – бу + 2)2;
б) (x — ба)2;
д) (х – 5y)(x? + 5xy + 25y”).
в) (х – 5а);
2. Разложите на множители выражение:
а) 360° — 169ь?;
г) аз + За2 + За + 1;
б) 25х2 + 64y? — 80xy; д) 128а1 + b7.
в) 125х3 – 27a3.
3. При каких значениях переменной значения выражений х(х-
и (х – 6)(х + 6) равны?
4. Найдите значение выражения 3(4а - b)? — 2(a - b)(a + b) +
+ 4(a + 3b)? при а= -0,2 и 3 = -1.
5. Решите уравнение:
а) (x + 2)(х? — 2х + 4) - х(х + 2)(х – 2) = 12;
б) х2 +8+ 2х(х + 2) = 0.
6. Разложите на множители выражение:
а) а? - b2 + c? - 2ab + 2bc – 2ас;
б) 9х3 + 3х2 + 3x +1.
7. Докажите, что многочлен х? — 2х + y? – 4у + 6 при любых зна-
чениях входящих в него переменных принимает положитель-
ные значения.

Добрый день! Конечно, я могу помочь вам с этим упражнением.
Перейдем к пошаговому решению каждого вопроса.

1. Преобразуйте выражение в многочлен:
а) (х – 5а)(5а + х)
Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать свойство распределения умножения относительно сложения. Для этого умножим каждый член первого скобочного выражения на каждый член второго скобочного выражения:
(х – 5а)(5а + х) = х * 5а + х * х - 5а * 5а - 5а * х = 5ах + х² - 25а² - 5ах = х² + 5ах - 25а².

г) (х – бу + 2)2
В этом случае мы можем воспользоваться свойством квадрата суммы двух слагаемых:
(х – бу + 2)2 = (х - бу + 2)(х - бу + 2) = х * х + х * (-бу) + х * 2 - бу * х + бу * (-бу) + бу * 2 + 2 * х - 2 * бу + 2 * 2 = х² - 2хбу + 4х - бух + бу² - 2бу + 2х - 2бу + 4.

б) (x — ба)2
В этой задаче мы также можем воспользоваться свойством квадрата суммы двух слагаемых:
(x — ба)2 = (x - ба)(x - ба) = x * x + x * (-ба) + x * (-ба) + (-ба) * (-ба) = x² - 2бах + ба².

д) (х – 5y)(x² + 5xy + 25y²)
Здесь мы должны использовать свойство распределения умножения относительно сложения второго множителя на первый множитель:
(х – 5y)(x² + 5xy + 25y²) = х * x² + х * 5xy + х * 25y² - 5y * x² - 5y * 5xy - 5y * 25y² = x³ + 5x²y + 25xy² - 5x²y - 25xy² - 125y³ = x³ - 20x²y - 100xy² - 125y³.

в) (х – 5а)
А в этой задаче мы уже имеем преобразованное выражение и его раскрывать не нужно.

2. Разложите на множители выражение:
а) 360° — 169y²
Чтобы разложить это выражение на множители, мы должны сначала найти разность квадратов. Для этого посмотрим на формулу:
а² - b² = (а + b)(а - b)
Применяем эту формулу:
360° — 169y² = (19y + 13y)(19y - 13y) = 32y(19y - 13y) = 32y(6y) = 192y².

г) az + 3a² + 3a + 1
В этой задаче, чтобы разложить на множители выражение, мы должны использовать метод группировки:
az + 3a² + 3a + 1 = (az + 1) + (3a² + 3a) = az(1 + 3a) + 3a(1 + 3a) = (1 + 3a)(az + 3a).

б) 25x² + 64y³ — 80xy
Аналогично предыдущей задаче, мы используем метод группировки:
25x² + 64y³ — 80xy = 25x² — 80xy + 64y³ = 5x(5x — 16y) + 64y²(5x — 16y) = (5x + 64y²)(5x — 16y).

д) 128a² + b⁷
Поскольку в этом случае у нас нет общего множителя, то это выражение не может быть разложено на множители.

в) 125x³ — 27a³
Здесь мы можем использовать формулу суммы кубов:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Применяем эту формулу:
125x³ — 27a³ = (5x - 3a)(25x² + 15ax + 9a²).

3. При каких значениях переменной значения выражений х(х-<х-6)(х + 6) равны?
Для нахождения значений переменной, при которых выражения будут равны, мы должны приравнять их к нулю и решить полученные уравнения:
х(х-<х-6)(х + 6) = 0
Получившееся уравнение имеет три корня: х = 0, х = -6 и х = 6.

4. Найдите значение выражения 3(4a - b)² — 2(a - b)(a + b) + 4(a + 3b)² при а= -0,2 и 3 = -1.
Для этого мы должны подставить значения переменных и выполнить необходимые вычисления:
3(4 * (-0,2) - (-1))² — 2((-0,2) - (-1))((-0,2) + (-1)) + 4((-0,2) + 3 * (-1))²
= 3(4 * (-0,2) + 1)² — 2((-0,2) + 1)((-0,2) + 1) + 4((-0,2) + 3 * (-1))²
= 3(-0,8 + 1)² — 2(0,2)(0,8) + 4(-0,2 - 3)²
= 3 * 0,2² — 2 * 0,2 * 0,8 + 4 * (-0,2 - 3)²
= 3 * 0,04 - 2 * 0,16 + 4 * (-3,2)²
= 0,12 - 0,32 + 4 * 10,24
= 0,12 - 0,32 + 40,96
= 0,12 - 0,32 + 40,96
= 40,76

5. Решите уравнение:
а) (x + 2)(x² — 2x + 4) - x(x + 2)(x — 2) = 12
Как и ранее, мы используем метод группировки:
(x + 2)(x² — 2x + 4) - x(x + 2)(x — 2) = 12
(x + 2)((x² — 2x + 4) - x(x — 2)) = 12
(x + 2)(x² — 2x + 4 - x² + 2x) = 12
(x + 2)(4) = 12
4(x + 2) = 12
4x + 8 = 12
4x = 4
x = 1

б) x² + 8 + 2x(x + 2) = 0
Аналогично, используем метод группировки:
x² + 8 + 2x(x + 2) = 0
x² + 8 + 2x² + 4x = 0
3x² + 4x + 8 = 0
Но это квадратное уравнение не имеет рациональных корней. Корни этого уравнения могут быть найдены с помощью формулы дискриминанта или методом исключения, но результат будет радикальным числом.

6. Разложите на множители выражение:
а) a² - b² + c² - 2ab + 2bc - 2ac
В этой задаче мы должны использовать формулы разности квадратов и квадрата суммы двух слагаемых:
a² - b² + c² - 2ab + 2bc - 2ac = (a - b)(a + b) + c² - 2ab + 2bc - 2ac = (a - b)(a + b) + c² + 2bc - 2ab - 2ac = (a - b)(a + b) + c(c + 2b) - 2a(b + c).

б) 9x³ + 3x² + 3x + 1
В данном случае мы не можем разложить это выражение на множители, так как оно не имеет общего множителя.

7. Докажите, что многочлен х³ — 2х + y³ - 4у + 6 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения.
Для доказательства этого утверждения мы должны показать, что выражение х³ — 2х всегда положительно, а также, что выражение y³ - 4у + 6 всегда положительно.
Выражение х³ — 2х может быть записано в виде х(х² - 2), где первый множитель любой величины всегда положителен. Заметим, что второе выражение является параболой, открывающейся вверх, что означает, что оно всегда положительно. Таким образом, х(х² - 2) всегда положительно.
Выражение y³ - 4у + 6 является суммой трех слагаемых, два из которых будут положительными (y³ и 6), а последнее отрицательным (-4у). Таким образом, сумма положительных слагаемых и отрицательного слагаемого также будет положительным.

Таким образом, многочлен х³ — 2х + y³ - 4у + 6 при любых значениях переменных всегда принимает положительные значения.

Я надеюсь, что мои разъяснения и пошаговое решение помогли вам лучше понять решение данных упражнений. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.