Вариант 1
к-5 ($ 7, 8)
•1. решите систему уравнений
x - 2y = 1,
|xy +y= 12.
•2. одна из сторон прямоугольника на 7 см больше
другой, а его диагональ равна 13 см. найдите стороны
прямоугольника.
3. не выполняя построения, найдите координаты то-
чек пересечення окружности x1 + y = 5 и прямой
х+ зу = 7.
4. изобразите на координатной плоскости множество
решений системы неравенств
y-rs 1.
1 1 1
5. решите систему уравнений хуб
5х - у = 9.​

Вариант 1:

1. Решение системы уравнений:
Уравнение 1: x - 2y = 1

Для решения данного уравнения мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания (линейной комбинации) уравнений.

Давайте воспользуемся методом подстановки. В уравнении 2 выразим переменную x через y:
Уравнение 2: xy + y = 12
x = 12/y - 1

Теперь подставим выражение для x в уравнение 1 и решим полученное уравнение:
12/y - 1 - 2y = 1
12 - y - 2y^2 = y
2y^2 + 3y - 12 = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя факторизацию или квадратное уравнение.
Факторизируем данное уравнение:
(2y - 3)(y + 4) = 0

Отсюда получаем два возможных значения y:
y1 = 3/2, y2 = -4

Подставим найденные значения в уравнение 1, чтобы найти значения x:
Для y1 = 3/2: x - 2(3/2) = 1 => x - 3 = 1 => x = 4
Для y2 = -4: x - 2(-4) = 1 => x + 8 = 1 => x = -7

Таким образом, получаем два возможных решения системы уравнений:
Первое решение: x = 4, y = 3/2
Второе решение: x = -7, y = -4

2. Нахождение сторон прямоугольника:
Пусть одна из сторон прямоугольника равна x, а другая - y. Дано, что одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой и диагональ равна 13 см.
Используем теорему Пифагора для нахождения связи между x, y и диагональю:
x^2 + y^2 = 13^2

Дано также, что одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Воспользуемся этой информацией:
x = y + 7

Подставим выражение для x в уравнение для диагонали и решим полученное уравнение:
(y + 7)^2 + y^2 = 13^2
y^2 + 14y + 49 + y^2 = 169
2y^2 + 14y - 120 = 0

Таким образом, мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня.
Факторизируем данное уравнение:
2(y - 4)(y + 15) = 0

Отсюда получаем два возможных значения y:
y1 = 4, y2 = -15

Подставим найденные значения y в уравнение для x:
Для y1 = 4: x = 4 + 7 = 11
Для y2 = -15: x = -15 + 7 = -8

Таким образом, мы получаем два возможных набора сторон прямоугольника:
Первый набор сторон: x = 11 см, y = 4 см
Второй набор сторон: x = -8 см, y = -15 см

3. Нахождение координат точки пересечения окружности и прямой:
Даны уравнение окружности x^2 + y = 5 и прямой x + z = 7. Мы должны найти их точку пересечения без построения.

Введем переменную z и подставим в уравнение прямой:
x + z = 7

Теперь представим уравнение прямой в виде выражения x через z:
x = 7 - z

Подставим это выражение в уравнение окружности и решим полученное уравнение:
(7 - z)^2 + y = 5
49 - 14z + z^2 + y = 5
z^2 - 14z + (y - 44) = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной z.
Таким образом, мы нашли координаты точки пересечения окружности и прямой: z1 и z2.

4. Изображение множества решений системы неравенств на координатной плоскости:
Дана система неравенств: y > 1, x + y < 1, x + z < 1.

Для изображения множества решений на координатной плоскости, на которой ось x и ось y, необходимо учесть ограничения, заданные каждым неравенством.

Начнем с первого неравенства: y > 1.
Это означает, что все точки, лежащие выше горизонтальной прямой y = 1, удовлетворяют данному неравенству.

Теперь рассмотрим неравенство x + y < 1.
Возьмем его в виде x = 1 - y и построим график прямой для этого уравнения.
Точки, лежащие ниже этой прямой, удовлетворяют данному неравенству.

Далее имеем неравенство x + z < 1.
Возьмем его в виде z = 1 - x и построим график прямой для этого уравнения.
Точки, лежащие выше этой прямой, удовлетворяют данному неравенству.

Изобразим графики каждого из этих неравенств на координатной плоскости и найдем область пересечения, то есть множество точек, которые удовлетворяют всем трем неравенствам.

5. Решение системы уравнений:
Дано уравнение системы: 5x - y = 9.

Мы можем решить данное уравнение, используя метод подстановки или метод сложения/вычитания (линейной комбинации) уравнений.

Давайте воспользуемся методом подстановки. В уравнении 1 выразим переменную y через x:
Уравнение 1: 5x - y = 9
y = 5x - 9

Теперь подставим выражение для y в уравнение 2 и решим полученное уравнение:
(5x - 9) - x = 0
5x - 9 - x = 0
4x - 9 = 0
4x = 9
x = 9/4

Подставим найденное значение x в уравнение 1, чтобы найти значение y:
5(9/4) - y = 9
45/4 - y = 9
-y = 9 - 45/4
-y = 36/4 - 45/4
-y = -9/4
y = 9/4

Таким образом, мы получаем решение системы уравнений: x = 9/4, y = 9/4.