Вариант 1
№1. Вынесите множитель за знак корня
а) √28; б) √160; в) 3/5 √175; г) -0,01√30000
№2. Вынесите множитель за знак корня
а) √(5^2∙3); б) √(7^2⋅3^3 )
№3. Внесите множитель под знак корня
а) 6√2; б) 1/2 √8х; в) -10√0,2р
№4. Докажите, что
√(9-6√2) = √6 - √3

Добрый день! Давайте решим задачу по порядку.

№1. Вынесите множитель за знак корня:
а) √28
Для выноса множителя за знак корня, нам нужно разложить число под знаком корня на множители. Заметим, что 28 можно разложить на два множителя: 4 и 7. Тогда √28 = √(4 * 7).
Мы можем вынести корень из квадратного множителя: √(4 * 7) = √4 * √7 = 2√7

б) √160
Техника решения такая же. Разложим число под знаком корня на множители: 160 = 16 * 10. А дальше выносим корень из квадратных множителей: √(16 * 10) = √16 * √10 = 4√10

в) 3/5 √175
Здесь мы умножаем два множителя: 3/5 и √175. Выносим корень: 3/5 * √(25 * 7) = 3/5 * √25 * √7 = 3/5 * 5 * √7 = 3√7

г) -0,01√30000
Если мы разложим число 30000 на множители, то получим 30000 = 25 * 4 * 3 * 10.
Теперь вынесем корень: -0.01 * √(25 * 4 * 3 * 10) = -0.01 * √25 * √4 * √3 * √10 = -0.01 * 5 * 2 * √3 * √10 = -0.1 * 10√3 = -√3

№2. Вынесите множитель за знак корня:
а) √(5^2 * 3)
Разложим число 5^2 * 3 на множители: 5^2 * 3 = 25 * 3. Теперь вынесем корень: √(25 * 3) = √25 * √3 = 5√3

б) √(7^2 * 3^3)
Аналогично разложим число 7^2 * 3^3 на множители: 7^2 * 3^3 = 49 * 27. Вынесем корень: √(49 * 27) = √49 * √27 = 7 * √3^3 = 7 * 3 = 21

№3. Внесите множитель под знак корня:
а) 6√2
Здесь никакого внесения множителя не требуется. Ответ: 6√2

б) 1/2 √8х
Мы перемножаем два множителя: 1/2 и √8х. Внесем множитель под знак корня: 1/2 * √(8х) = √(4х) = 2√х

в) -10√0,2р
Аналогично предыдущему пункту, перемножаем два множителя: -10 и √0,2р. Внесем множитель под знак корня: -10 * √(0,2р) = -10 * √(0,2 * р) = -10 * √(0,2) * √р = -10 * √(2/10) * √р = -10 * √(2/10) * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * √2/√10 * √р = -10 * (1/√10) * √2 * √р = -10 * (1/√10) * √2 * √р = -10/√10 * √2 * √р = -10/10 * √2 * √р = -√2 * √р = -√(2р)

№4. Докажите, что √(9-6√2) = √6 - √3
Для доказательства равенства, нам нужно воспользоваться квадратными тождествами.
Мы знаем, что (a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2, а также (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2.
Воспользуемся этими формулами.

Из задачи, у нас дано √(9 - 6√2).
Предлагаю обозначить √2 как а, тогда наше равенство будет выглядеть так: √(9 - 6а) = √6 - √3.

Возведем (√(9 - 6а))^2 и (√6 - √3)^2 в квадрат, так как они могут быть равны только при равенстве соответствующих их квадратов.

(√(9 - 6а))^2 = (9 - 6а) = 9 - 12а + 6а^2.
Извлекаем корень из (√6 - √3)^2: (√6 - √3) = 6 - 2√18 + 3.
Теперь сравниваем обе части равенства:
9 - 12а + 6а^2 = 6 - 2√18 + 3.
Упростим выражение и приведем подобные члены:
6а^2 - 2√18 - 12а + 3= 0.
Заметим, что √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2.
Теперь подставим это значение в уравнение:
6а^2 - 2 * 3√2 - 12а + 3= 0.
6а^2 - 6√2 - 12а + 3= 0.
Упростим уравнение:
6а^2 - 12а - 6√2 + 3= 0.
Разделим все коэффициенты на 3. Получим:
2а^2 - 4а - 2√2 + 1 = 0.

Теперь нам нужно найти решения этого уравнения.
Применим квадратное уравнение общего вида: ах^2 + bx + c = 0.

Для начала найдем дискриминант по формуле: D = b^2 - 4ac.
Значение a равно 2, b равно -4, а c равно -2√2 + 1.
D = (-4)^2 - 4 * 2 * (-2√2 + 1).
D = 16 + 16√2 - 8.
D = 8 + 16√2.

Готовим формулу для нахождения решений:
x = (-b ± √D) / 2a.
Подставляем значения:
x = (-(-4) ± √(8 + 16√2)) / (2 * 2).
x = (4 ± √(8 + 16√2)) / 4.

Упростим выражение под корнем вместе со знаком корня:
√(8 + 16√2) = √8 * √(1 + 2√2).

Попробуем вынести √2 из корня:
√(1 + 2√2) = √((√2)^2 + 2 * √2 * 1 + (1)^2) = √((√2 + 1)^2).

Теперь у нас получилось √(8 + 16√2) = √8 * √(1 + 2√2) = √8 * √((√2 + 1)^2) = 2√2 * (√2 + 1).
Тогда x = (4 ± 2√2 * (√2 + 1)) / 4.

Упростим дробь:
x = (4 ± 2√2 * (√2 + 1)) / 4 = (4 ± 2√2 * √2 + 2√2) / 4 = (4 ± 4√2 + 2√2) / 4 = (4 ± 6√2) / 4 = 1 ± 3√2.

Итак, у нас получилось два решения: x = 1 + 3√2 и x = 1 - 3√2.

Теперь вернемся к основному вопросу: докажем, что √(9 - 6√2) = √6 - √3.
Мы показали, что (√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2.
Теперь возведем обе части равенства в квадрат:
(√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2.
9 - 6√2 = 6 - 2√6√3 + 3.
Сокращаем и упрощаем:
3 = 3.
Таким образом, равенство (√(9 - 6√2))^2 = (√6 - √3)^2 доказано.

Надеюсь, эта подробная и обстоятельная информация помогла вам понять, как решить данные задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!