В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что
BK:KM=2:7. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отно-
шение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Добрый день!

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о треугольниках и их свойствах, а также некоторые простые алгебраические преобразования.

Итак, у нас имеется треугольник ABC, его медиана BM и точка K, такая что отношение BK к KM равно 2 к 7. Пусть длина отрезка BK равна 2x, а длина отрезка KM равна 7x.

Теперь, проведем прямую AK, которая пересекает сторону BC в точке P. Давайте рассмотрим треугольники ABK и AKM.

Обратите внимание, что треугольники ABK и AKM имеют общую высоту из вершины A. Это означает, что отношение площадей этих треугольников будет равно отношению их оснований.

Площадь треугольника ABK обозначим как S1, а площадь треугольника AKM - как S2. Тогда отношение площадей будет записываться как:

S1/S2 = AB/AK

Так как ABK - треугольник, а BM - медиана, то AM также является медианой треугольника ABK. Из свойств медиан треугольника, мы знаем, что медиана делит сторону на две части, такие что отношение этих частей равно 2 к 1. Значит, отрезок AM равен 2x.

Таким образом, общая длина стороны AK будет AK = 2x + 7x = 9x.

Теперь мы можем записать соотношение площадей:

S1/S2 = AB/AK = AB/(2x + 7x) = AB/(9x)

Теперь нам нужно найти отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM. Давайте рассмотрим этот четырёхугольник.

Четырёхугольник KPCM - это прямоугольник, так как у него противоположные стороны параллельны (BK и MP), а также у него есть две прямые углы (так как AK и MP пересекаются перпендикулярно). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Заметим, что сторона прямоугольника KP равна длине отрезка BM, который мы обозначили как 9x (так как длина BK равна 2x, а длина KM - 7x). Также сторона прямоугольника CM равна длине отрезка KM, то есть 7x.

Теперь мы можем записать площадь прямоугольника KPCM:

Площадь KPCM = KP * CM = (9x) * (7x) = 63x^2

Таким образом, отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM равно:

S1 / S(KPCM) = S1 / (63x^2)

Мы уже ранее выразили S1 относительно x:

S1 = AB / (9x)

Таким образом, подставляем это выражение в формулу отношения площадей:

S1 / S(KPCM) = (AB / (9x)) / (63x^2)

Теперь можно упростить это выражение:

S1 / S(KPCM) = (AB / (9x)) * (1 / (63x^2))

S1 / S(KPCM) = AB / (9x * 63x^2)

S1 / S(KPCM) = AB / (567x^3)

Итак, мы нашли окончательное выражение для отношения площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM:

S1 / S(KPCM) = AB / (567x^3)

Надеюсь, данное пошаговое решение поможет вам понять, как получить ответ на данную задачу. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!