В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 30° вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие - на катетах. Какими должны быть должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Все даю и оцениваю.

По этому рисунку сделано который прикреплён:

Пусть стороны прямоугольника х и у ( cм. рисунок)

Равные углы отмечены одинаковым цветом.

Катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Треугольник розового цвета и сиреневого цвета подобны.

Из подобия

у : (4-(х/4))=(12-(3х/4)):у

у²=(12-(3х/4))·(4-(х/4))

y²=48-6x+(3x²/16)

S=x·y=x·sqrt(48-6x+(3x²/16))

Исследуем функцию

S(x)=x·sqrt(48-6x+(3x²/16)) на экстремум.

Внесем х под корень

S(x)=sqrt(48x²-6x³+(3x⁴/16))

Функция S(x) принимает наибольшее значение в тех же точках, в которых принимает наибольшее значение подкоренное выражение

P(x)=48x²-6x³+(3x⁴/16))

P`(x)=96x-18x²+(3x³/4)

P`(x)=0

96x-18x²+(3x³/4)=0

x·(384-72x+3x²)=0

3x²-72x+ 384=0

D=72²-4·3·384=5184-4608=576

x₁=(72-24)/6=8 или х₂=16

у₁=sqrt(12) или y₂=sqrt(48-6·16+(3·256/16))=0

ответ. 8 и √12

Дано: АВ = 16 см; <C = 90°; B = 30°; SMNKL - наибольшая; Найти: MN; ML;

1) Пусть MN = x сантиметров;

2) По теореме о сумме углов треугольника: <САВ = 180°- ZACB - LABC = 180° - 90° - 30° = 60°;

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник АNМ: х AN MN ctg 60° =x/√3

AM = √(AN)2 + (MN)2=2x/√3

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:

АС = АВ * sin 30° = 8;