В а р и а н т 1

1. Преобразуйте выражение в многочлен:

a) (3x - a)(a + 3x);

б) (3х - а)2;

b) (3x - a)3;

г) (3х - у + 2)2;

д) (3. - y)(9x2 + 3.ху + у?).

2. Разложите на множители выражение:

a) 144a2 - 49b2;

6) 4x2 + 49y2 + 28xy;

b) 64x3 + 27y';

r) a3 - За2 + За - 1;

д) a? + 128b7.

3. При каких значениях переменной значения выражений х(х + 2)

и (х - 4)(х + 4) равны?

4. Найдите значение выражения а(а + b)2 + 2a(a2 + b2) - a(a - b)2

при а = 2,5 и b = 0,5.

5. Решите уравнение:

a) (x - 3)(x2 + 3x + 9) - x(x + 5)(× - 5) = 23;

б) 4x(x + 4) + x3 + 64 = 0.

6. Разложите на множители выражение:

a) a? + b? + c2 + 2ab - 2bc - 2ac;

б) 9x3 - 3x2 + 3x - 1.

7. Докажите, что многочлен х3 - 4x + y3 - 4y + 9 при любых значениях входящих в него переменных принимает положитель-

ные значения.

Добрый день!

Давайте рассмотрим каждый вопрос по отдельности:

1) Преобразуйте выражение в многочлен:
а) (3x - a)(a + 3x):
Чтобы преобразовать это выражение в многочлен, мы должны раскрыть скобки. Для этого используем формулу (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Применяя эту формулу, получаем:
(3x - a)(a + 3x) = 3x * a + 3x * 3x - a * a - a * 3x = 3ax + 9x^2 - a^2 - 3ax = 9x^2 - a^2.

б) (3х - а)2:
Возведение в квадрат означает умножение выражения на само себя:
(3х - а)2 = (3х - а)(3х - а) = 9х^2 - 3ха - 3ха + а^2 = 9х^2 - 6ха + а^2.

в) (3x - a)3:
Возведение в куб означает умножение выражения на его квадрат:
(3x - a)3 = (3x - a)(3x - a)(3x - a) = (9x^2 - 6xa + a^2)(3x - a) = 27x^3 - 18x^2a + 3xa^2 - 9x^2a + 6xa^2 - a^3 = 27x^3 - 27x^2a + 9xa^2 - a^3.

г) (3х - у + 2)2:
(3х - у + 2)2 = (3х - у + 2)(3х - у + 2) = 9х^2 - 3ху + 6х - 3ху + у^2 - 2у + 6х - 2у + 4 = 9х^2 - 6ху + 12х - 4у + у^2 + 4.

д) (3y - y)(9x2 + 3xy + y2):
(3y - y)(9x^2 + 3xy + y^2) = 2y(9x^2 + 3xy + y^2) = 18x^2y + 6xy^2 + 2y^3.

2) Разложите на множители выражение:
а) 144a^2 - 49b^2:
Для разложения этого выражения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b):
144a^2 - 49b^2 = (12a)^2 - (7b)^2 = (12a - 7b)(12a + 7b).

б) 4x^2 + 49y^2 + 28xy:
Это выражение не может быть разложено как разность квадратов, поэтому давайте рассмотрим его как сумму квадратов:
4x^2 + 49y^2 + 28xy = (2x)^2 + (7y)^2 + 2 * 2x * 7y = (2x + 7y)^2.

в) 64x^3 + 27y':
Это выражение не может быть разложено на множители, так как не подпадает ни под одно известное правило разложения.

г) a^3 - 3a^2 + 3a - 1:
Данное выражение представляет собой куб с вычитанием 1, поэтому оно не может быть разложено на множители в данном виде.

д) a^7 + 128b^7:
Это выражение является суммой кубов, и мы можем использовать формулу a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) для разложения на множители:
a^7 + 128b^7 = (a + 2b)(a^6 - 2a^5b + 4a^4b^2 - 8a^3b^3 + 16a^2b^4 - 32ab^5 + 64b^6).

3) При каких значениях переменной значения выражений x(x + 2) и (x - 4)(x + 4) равны?
Чтобы найти значения переменной при которых значения этих выражений равны, мы должны приравнять их и решить получившееся уравнение:
x(x + 2) = (x - 4)(x + 4)
x^2 + 2x = x^2 - 16
2x = -16
x = -8.
Таким образом, при значении переменной x = -8, значения выражений x(x + 2) и (x - 4)(x + 4) равны.

4) Найдите значение выражения а(а + b)^2 + 2a(a^2 + b^2) - a(a - b)^2 при а = 2,5 и b = 0,5:
Подставим данные значения в выражение и выполним вычисления:
а(а + b)^2 + 2a(a^2 + b^2) - a(a - b)^2 = 2,5(2,5 + 0,5)^2 + 2 * 2,5 (2,5^2 + 0,5^2) - 2,5(2,5 - 0,5)^2
= 2,5(3)^2 + 2 * 2,5 (6,25 + 0,25) - 2,5(2)^2
= 2,5(9) + 2 * 2,5 * 6,5 - 2,5(4)
= 22,5 + 32,5 - 10
= 45.

Таким образом, при а = 2,5 и b = 0,5 значение выражения равно 45.

5) Решите уравнение:
а) (x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x + 5)(x - 5) = 23:
Раскроем скобки и упростим уравнение:
(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x + 5)(x - 5) = 23
(x^3 + 3x^2 + 9x - 3x^2 - 9x - 27) - (x^3 - 25x) = 23
(-27) - (-25x + x^3) = 23
-27 + 25x - x^3 = 23
x^3 - 25x + 25 = 0.

б) 4x(x + 4) + x^3 + 64 = 0:
Раскроем скобки и упростим уравнение:
4x(x + 4) + x^3 + 64 = 0
4x^2 + 16x + x^3 + 64 = 0
x^3 + 4x^2 + 16x + 64 = 0.

6) Разложите на множители выражение:
а) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac:
Для разложения этого выражения на множители мы должны провести группировку по двум буквам:
(a^2 + 2ab + b^2) + (c^2 - 2bc - 2ac)
= (a + b)^2 + c(c - 2b - 2a).

б) 9x^3 - 3x^2 + 3x - 1:
Данное выражение не может быть разложено на множители, так как не подпадает ни под одно известное правило разложения.

7) Докажите, что многочлен х^3 - 4x + y^3 - 4y + 9 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения:
Для доказательства этого утверждения мы можем рассмотреть два случая: когда x и y положительные, и когда x и y отрицательные.

а) Когда x и y положительные:
В этом случае все слагаемые многочлена положительны, за исключением слагаемого -4x, которое отрицательно. Однако, суммируя все слагаемые, мы получаем положительное значение всего многочлена.

б) Когда x и y отрицательные:
В этом случае все слагаемые многочлена отрицательны, за исключением слагаемого -4y, которое положительно. Однако, суммируя все слагаемые, мы опять получаем положительное значение всего многочлена.

Таким образом, независимо от знаков переменных, значение многочлена х^3 - 4x + y^3 - 4y + 9 всегда будет положительным.